Обозначим через 
высоту пирамиды, а через 
— середину 
(рисунок 8). Тогда
Отсюда
Следовательно,
Ответ: 
.
Вопрос. Нужно найти радиус сферы, касающейся двух плоскостей в точках, расположенных на двух заданных прямых. Сколько решений может иметь эта задача?
7.4. Особенности задач на объемы
Заданную пирамиду иногда можно заменить другой пирамидой, которая значительно отличается по внешнему виду от заданной, но имеет такой же объем. Пусть, например, дана пирамида 
. Если сместить вершину 
параллельно плоскости 
в точку 
, то получится пирамида 
, у которой высота, проведенная к основанию , такая же, как и у пирамиды (рисунок 9).
Можно также в плоскости заменить треугольник равновеликим треугольником 
. В результате получится пирамида 
, у которой такая же высота, проведенная из вершины , как и у пирамиды , а площади оснований у этих двух пирамид одинаковы (рисунок 10). Указанные свойства можно использовать при решении задач о вычислении объемов.
Пример 4. В правильной треугольной пирамиде 
сторона основания 
равна 1, боковые ребра имеют длину 2. Точки 
и 
— середины ребер и 
, точки 
и 
выбраны соответственно на ребрах 
и 
так, что 
. Найти объем пирамиды 
.
Решение. Построим на ребре такую точку , что 
(рисунок 11). Тогда 
. Заменив пирамиду 
пирамидой 
, получим 
(рисунок 12).
В плоскости 
заменим треугольник 
треугольником 
такой же площади. Переходя от пирамиды к пирамиде 
, будем иметь 
(рисунок 13).
Наконец, построим точку 
— середину ребра 
. Тогда 
. Заменив пирамиду пирамидой 
, находим 
(рисунок 14). Объем пирамиды нетрудно найти, если вычислить площадь основания и высоту пирамиды .
Пусть 
— высота пирамиды . Тогда
Отсюда
Если 
— высота пирамиды 
, то 
, значит
Далее,
Так как 
— средняя линия треугольника , то
В итоге
Ответ: 
.
Вопрос. Как доказать, что
7.5. Касание сферы с прямой
Разберем в заключение такую задачу.
Пример 5. Основание полусферы с центром 
и радиусом 3 расположено в плоскости 
. Точки 
и 
плоскости находятся на расстоянии 5 от центра и
. Через точки и под углом в 
к плоскости проводятся две скрещивающиеся прямые, которые касаются полусферы (рисунок 15). Найти расстояние между этими прямыми.
Решение. Пусть 
является отрезком касательной к полусфере и образует угол в с плоскостью . Проведем 
(рисунок 16). В результате образуются прямоугольные треугольники 
, 
, 
, причем по условию 
, 
, 
. Следовательно,
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
