Рабочая программа дисциплины (модуля) Математический анализ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Направление подготовки

ГИДРОМЕТЕОРОЛОГИЯ

Профиль подготовки___________________________________________________

______________________________________________________________________

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр (магистр)

Форма обучения

Очная

Москва

2015г.

1. Цели освоения дисциплины.

Целями освоения дисциплины "Математический анализ" являются: формирование математической культуры студентов, подготовка студентов в области математического анализа, овладение современным аппаратом математического анализа для дальнейшего использования в других областях знания, дисциплинах естественнонаучного содержания и приложениях.

2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО.

Дисциплина «Математический анализ» входит в цикл профессиональных дисциплин в модуле «Высшая математика» в базовой части.

«Математический анализ» изучается в 3 семестре. Основой для его успешного изучения служит дисциплина «Математика», изучаемая в 1 и 2 семестрах.

Освоение Математического анализа необходимо для успешного изучения как дальнейших базовых курсов – «Физика», «Дифференциальные уравнения», «Теория вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимизации», так и дисциплин специализации, таких как «Теоретическая механика и гидромеханика», некоторых специальных курсов; приобретенные знания потребуются также в научно-исследовательской работе.

3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля): ОНК-1, ОНК-5, ОНК-7.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

1) Знать: основные понятия, определения и свойства объектов математического анализа, формулировки и доказательства утверждений, методы их доказательства, возможные сферы их связи и приложения в других областях математического знания и дисциплинах естественнонаучного содержания.

2) Уметь: доказывать утверждения математического анализа, решать задачи математического анализа, уметь применять полученные навыки в других областях математического знания, дисциплинах естественнонаучного содержания и приложениях.

3) Владеть: аппаратом математического анализа, методами доказательства утверждений, навыками применения этого в других областях математического знания, дисциплинах естественнонаучного содержания и приложениях.

4. Структура и содержание дисциплины (модуля).

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы.

№	Раздел дисциплины	Семестр	Неделя семестра	Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)	Формы текущего контроля успеваемости (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
				Лек	Сем	Сам	Сумм
1	Двойной интеграл. Введение: задачи, приводящие к использованию кратных интегралов. Определение двойного интеграла. Примеры. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Свойства двойного интеграла.	3	1	2	2	2	6
2	Двойной интеграл. Теорема о среднем для двойных интегралов. Геометрические и физические приложения двойного интеграла	3	2	2	2
3	Двойной интеграл. Вычисление двойного интеграла по криволинейной трапеции.	3	2	2	2
4	Двойной интеграл. Криволинейные координаты на плоскости. Якобиан, его геометрический смысл. Формула замены переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.	3	3	2	2	1	5
	Элементы аналитической геометрии в пространстве. Прямоугольные координаты в трехмерном пространстве. Элементы векторной алгебры (координаты вектора, действия над векторами, скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение). Плоскость и прямая в пространстве. Поверхности второго порядка: канонические уравнения, сечения, прямолинейные образующие. Преобразования координат.	3	3-5	6	0	2	8
5	Двойной интеграл. Площадь поверхности (случай явного задания поверхности, случай параметрического задания поверхности). Примеры.	3	5	2	4	2	8
6	Тройной интеграл. Определение тройного интеграла. Примеры. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Свойства тройного интеграла.	3	6	2	2	1	5
7	Тройной интеграл. Теорема о среднем для тройных интегралов. Геометрические и физические приложения тройного интеграла	3	7	2	1	3
8	Тройной интеграл. Вычисление тройных интегралов.	3	7	2	1	3
9	Тройной интеграл. Криволинейные координаты в пространстве. Замена переменных в тройном интеграле. Якобиан. Сферические и цилиндрические координаты. Примеры.	3	8	2	4	1	7	Контрольная работа (2 часа)
	Криволинейный интеграл первого рода Определение криволинейного интеграла первого рода. Основные свойства криволинейного интеграла первого рода. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Частные случаи на плоскости. Геометрические и физические приложения криволинейных интегралов первого рода.	3	9	2	2	1	5
	Криволинейный интеграл второго рода Определение криволинейного интеграла второго рода. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Векторная запись.	3	9	2	2	1	5
	Криволинейный интеграл второго рода Физический смысл криволинейного интеграла второго рода. Свойства криволинейных интегралов второго рода, теорема разбиения.	3	10	2	1	3
	Криволинейный интеграл второго рода Формула Грина.	3	11	2	2	1	5
	Криволинейный интеграл второго рода Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Критерий случая полного дифференциала. Существенность условия односвязности области. Способы нахождения потенциальной функции.	3	11	2	2	1	5	Контрольная работа (2 часа)
	Поверхностный интеграл первого рода. Определение поверхностного интегралы первого рода. Основные свойства поверхностного интегралы первого рода. Вычисление поверхностных интегралов первого рода. Геометрические и физические приложения поверхностных интегралов первого рода.	3	12-13	4	2	1	7
	Поверхностный интеграл второго рода. Понятие ориентированной поверхности. Нахождение вектора единичной нормали к поверхности при разных способах задания поверхности.	3	13	1	4	1	7
	Поверхностный интеграл второго рода. Определение поверхностного интеграла второго рода. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода. Способы и примеры вычисления.	3	14	2	2	4
	Поверхностный интеграл второго рода. Определение поверхностных интегралов в терминах дифференциальных форм.	3	14	2	0	1	3
	Поверхностный интеграл второго рода. Векторная запись поверхностных интегралов. Физический смысл поверхностных интегралов второго рода. Свойства поверхностных интегралов второго рода.	3	15	1	2	1	5
	Теорема Стокса. Формула Стокса. Векторная запись формулы Стокса и физический смысл.	3	16	2	1	3
	Теорема Остроградского-Гаусса. Теорема Остроградского-Гаусса. Векторная запись теоремы и физический смысл.	3	16	2	2	1	5
	Элементы теории поля. Градиент скалярной и вектор-функции, производная по направлению, дивергенция и ротор векторного поля. Некоторые утверждения в терминах теории поля. Некоторые физические приложения.	3	17	2	2	1	5	Контрольная работа (2 часа)
	Решение задач к экзамену	3	18	4	2	2	8
								Экзамен
	Всего			54	36	28	108

Содержание дисциплины - аудиторная и самостоятельная работа:

Тема 1. Двойной интеграл

Лекция 1:

Введение: задачи, приводящие к использованию кратных интегралов. Определение двойного интеграла. Примеры. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Свойства двойного интеграла.

Семинар 1:

Выписывание двойного интеграла по заданной области, изображение области интегрирования по выписанному двойному интегралу. Вычисление двойных интегралов по областям стандартного вида.

Задания для самостоятельной работы: изучение материалов темы, решение задач.

Лекция 2:

Теорема о среднем для двойных интегралов. Геометрические и физические приложения двойного интеграла

Лекция 3:

Вычисление двойного интеграла по криволинейной трапеции.

Лекция 4:

Криволинейные координаты на плоскости. Якобиан, его геометрический смысл. Формула замены переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.

Семинар 2:

Замена переменных и переход к полярным координатам. Вычисление двойных интегралов в полярных координатах.

Задания для самостоятельной работы: изучение материалов темы, решение задач.

Лекция 5

Прямоугольные координаты в трехмерном пространстве. Элементы векторной алгебры (координаты вектора, действия над векторами, скалярное произведение, векторное произведение, смешанное произведение). Плоскость и прямая в пространстве.

Лекция 6-7:

Поверхности второго порядка: канонические уравнения, сечения, прямолинейные образующие. Преобразования координат.

Лекция 8

Площадь поверхности (случай явного задания поверхности, случай параметрического задания поверхности). Примеры.

Семинар 3:

Вычисление объемов с помощью двойных интегралов. Вычисление площадей поверхностей с помощью двойных интегралов.

Семинар 4:

Вычисление площадей поверхностей с помощью двойных интегралов. Вычисление массы и центра тяжести для плоской области.

Задания для самостоятельной работы: изучение материалов темы, решение задач.

Тема 2. Тройной интеграл

Лекция 9:

Определение тройного интеграла. Примеры. Необходимое и достаточное условие интегрируемости. Свойства тройного интеграла.

Лекция 10:

Теорема о среднем для тройных интегралов. Геометрические и физические приложения тройного интеграла

Лекция 11:

Вычисление тройных интегралов.

Семинар 5:

Выписывание тройного интеграла по заданному объему, изображение пространственной области интегрирования по выписанному тройному интегралу. Вычисление тройных интегралов. Замена переменных в тройном интеграле, переход к полярным координатам.

Задания для самостоятельной работы: изучение материалов темы, решение задач.

Лекция 12:

Криволинейные координаты в пространстве. Замена переменных в тройном интеграле. Якобиан. Сферические и цилиндрические координаты. Примеры.

Семинар 6:

Вычисление объемов с помощью тройных интегралов. Приложения тройных интегралов: вычисление массы и центра тяжести тела.

Задания для самостоятельной работы: изучение материалов темы, решение задач, подготовка к контрольной работе

Семинар 7:

Контрольная работа № 1.

Тема 3. Криволинейный интеграл первого рода

Лекция 13:

Определение криволинейного интеграла первого рода. Основные свойства криволинейного интеграла первого рода. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Частные случаи на плоскости. Геометрические и физические приложения криволинейных интегралов первого рода.

Семинар 8:

Криволинейный интеграл первого рода.

Задания для самостоятельной работы: изучение материалов темы, решение задач.

Тема 4. Криволинейный интеграл второго рода

Лекция 14:

Определение криволинейного интеграла второго рода. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. Связь между криволинейными интегралами первого и второго рода. Векторная запись.

Лекция 15:

Физический смысл криволинейного интеграла второго рода. Свойства криволинейных интегралов второго рода, теорема разбиения.

Семинар 9:

Криволинейный интеграл второго рода.

Задания для самостоятельной работы: изучение материалов темы, решение задач.

Лекция 16:

Формула Грина.

Семинар 10:

Случай полного дифференциала. Формула Грина.

Задания для самостоятельной работы: изучение материалов темы, решение задач, подготовка контрольной работе.

Лекция 16:

Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования. Критерий случая полного дифференциала. Существенность условия односвязности области. Способы нахождения потенциальной функции.

Семинар 11:

Контрольная работа № 2.

Тема 5. Поверхностный интеграл первого рода.

Лекция 17-18:

Определение поверхностного интегралы первого рода. Основные свойства поверхностного интегралы первого рода. Вычисление поверхностных интегралов первого рода. Геометрические и физические приложения поверхностных интегралов первого рода.

Семинар 12:

Вычисление поверхностных интегралов первого рода.

Задания для самостоятельной работы: изучение материалов темы, решение задач.

Тема 6. Поверхностный интеграл второго рода. Теорема Стокса. Теорема Остроградского-Гаусса. Элементы теории поля.

Лекция 19-20:

Понятие ориентированной поверхности. Нахождение вектора единичной нормали к поверхности при разных способах задания поверхности.

Определение поверхностного интеграла второго рода. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода. Способы и примеры вычисления.

Лекция 21:

Определение поверхностных интегралов в терминах дифференциальных форм.

Семинар 13-14:

Вычисление поверхностных интегралов второго рода.

Задания для самостоятельной работы: изучение материалов темы, решение задач.

Лекция 22:

Векторная запись поверхностных интегралов. Физический смысл поверхностных интегралов второго рода. Свойства поверхностных интегралов второго рода.

Лекция 23:

Формула Стокса. Векторная запись формулы Стокса и физический смысл.

Семинар 15:

Вычисление интегралов с помощью формулы Стокса.

Задания для самостоятельной работы: изучение материалов темы, решение задач.

Лекция 24:

Теорема Остроградского-Гаусса. Векторная запись теоремы и физический смысл.

Семинар 16:

Вычисление интегралов с помощью формулы Остроградского. Элементы теории поля.

Задания для самостоятельной работы: изучение материалов темы, решение задач, подготовка к контрольной работе.

Лекция 25:

Градиент скалярной и вектор-функции, производная по направлению, дивергенция и ротор векторного поля. Некоторые утверждения в терминах теории поля. Некоторые физические приложения.

Семинар 17:

Контрольная работа № 3.

Лекция 26-27:

Решение задач к экзамену

Семинар 18:

Решение задач к экзамену

5. Образовательные технологии: активные и интерактивные формы проведения занятий.

6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

В течение семестра студенты решают задачи, указанные преподавателем, к каждому семинару. В семестре проводятся 3 контрольные работы. В каждой группе, как правило, дается несколько вариантов одной и той же работы. Основные темы задач выносятся в экзаменационные билеты. В последнюю неделю семестра отводится время для «зачета» экзаменационных задач (студенты, сдавшие все темы задач, могут быть освобождены от решения задач на экзамене).

Экзаменационный билет состоит из двух пунктов: 1) решение предложенных задач, 2) теоретический вопрос.

Контрольная работа № 1 (Кратные интегралы).

1. Задан повторный интеграл в декартовых координатах. Требуется: изобразить область интегрирования, изменить порядок интегрирования, перейти к полярным координатам.

2. Найти площадь части поверхности (задана уравнением), отсеченной поверхностями (заданы уравнениями).

3. Найти массу тела, ограниченного поверхностями (заданы уравнениями), если плотность изменяется по закону… (например, пропорциональна расстоянию от оси OZ).

4. Найти объем (с помощью тройного интеграла) тела, ограниченного поверхностями (заданы уравнениями).

В каждом варианте в 3-ей или 4-ой задаче есть требование при решении перейти к цилиндрическим координатам.

Контрольная работа № 2 (Криволинейные интегралы).

1.  Вычислить криволинейный интеграл 1-ого рода вдоль плоской кривой.

2.  Вычислить криволинейный интеграл 2-ого рода в полных дифференциалах, находя потенциальную функцию.

3.  Вычислить криволинейный интеграл 2-ого рода вдоль плоского контура, применяя формулу Грина. Проверить результат, вычисляя интеграл непосредственно.

Контрольная работа № 3 (Поверхностные интегралы и элементы теории поля).

1.  Вычислить поверхностный интеграл 1-ого рода по части поверхности (задана уравнениями).

2.  Вычислить поверхностный интеграл 2-ого рода по стороне поверхности (задана уравнениями).

3.  Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл 2-ого рода вдоль пространственного контура (задан уравнениями) с заданным направлением обхода.

4.  С помощью формулы Остроградского-Гаусса вычислить поверхностный интеграл 2-ого рода по внешней стороне поверхности тела (задана уравнениями).

5.  Найти производную скалярного поля u(x, y,z) в точке M по направлению нормали к поверхности S, образующей острый угол с положительным направлением оси OZ.

Вопросы к экзамену по курсу Математический анализ.

1.  Определение двойного интеграла. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.

2.  Основные свойства двойного интеграла.

3.  Теорема о среднем для двойных интегралов.

4.  Геометрические и физические приложения двойного интеграла.

5.  Вычисление двойного интеграла по криволинейной трапеции.

6.  Криволинейные координаты на плоскости. Якобиан, его геометрический смысл. Формула замены переменных в двойном интеграле. Полярные координаты.

7.  Площадь поверхности (случай явного задания поверхности, случай параметрического задания поверхности).

8.  Определение тройного интеграла. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции.

9.  Основные свойства тройного интеграла.

10. Теорема о среднем для тройных интегралов.

11. Геометрические и физические приложения тройного интеграла.

12. Вычисление тройных интегралов.

13. Криволинейные координаты в пространстве. Замена переменных в тройном интеграле. Якобиан. Сферические и цилиндрические координаты.

14. Криволинейные интегралы первого рода, их основные свойства.

15. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Частные случаи на плоскости.

16. Геометрические и физические приложения криволинейных интегралов первого рода. Площадь цилиндрической поверхности.

17. Криволинейные интегралы второго рода.

18. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. Связь между интегралами первого и второго рода. Векторная запись.

19. Физический смысл криволинейного интеграла второго рода.

20. Свойства криволинейных интегралов второго рода, теорема разбиения.

21. Формула Грина.

22. Условия независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирования.

23. Критерий случая полного дифференциала. Существенность условия односвязности области. Способы нахождения потенциальной функции.

24. Поверхностные интегралы первого рода, их основные свойства.

25. Вычисление поверхностных интегралов первого рода.

26. Геометрические и физические приложения поверхностных интегралов первого рода

27. Понятие ориентированной поверхности. Нахождение вектора единичной нормали к поверхности при разных способах задания поверхности.

28. Поверхностные интегралы второго рода. Связь между поверхностными интегралами первого и второго рода.

29. Векторная запись поверхностных интегралов и физический смысл.

30. Свойства поверхностных интегралов второго рода.

31. Формула Стокса. Векторная запись формулы Стокса и физический смысл.

32. Теорема Остроградского. Векторная запись теоремы и физический смысл.

33. Дивергенция векторного поля. Случай поля, лишенного источников. Элементы теории поля.

Пример экзаменационного билета:

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В.ЛОМОНОСОВА

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Географический факультет

БИЛЕТ № 1

1.  Решение задач

2.  Определение двойного интеграла. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции. Основные свойства двойного интеграла.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).

а) основная литература:

1. , Высшая математика, 2 т., Минск: ТетраСистемс, 2009.

2. Р. Курант, Курс дифференциального и интегрального исчисления, 2 т., М.: Наука, 1970.

2. В. Немыцкий, М. Слудская, А. Черкасов, Курс математического анализа, 2 т., М.: ГОСТЕХИЗДАТ, 1944.

3. Задачи и упражнения по математическому анализу для ВТУЗов под редакцией , М.: Наука, 1978.

б) дополнительная литература:

1. , Аналитическая геометрия, М.: Наука, 1966.

2. , , Математический анализ в задачах и упражнениях, М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1991.

4. , Сборник задач по высшей математике, М.: Издательство физико-математической литературы, 2008.

в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы: не требуются

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля).

Учебные аудитории для проведения лекционных и семинарских занятий.

Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению «Гидрометеорология» и профилю подготовки ___

________________________________________________________________ .

Авторы: ст. преподаватель

Программа утверждена на заседании кафедры,

протокол № ____ от 7 сентября 2015г.

Заведующий кафедрой