Вопросы к экзамену по высшей математике

Вопросы к экзамену по высшей математике

I курс МОЛК, II семестр. 2013 – 2014 учебный год

(лектор – доцент, канд. физ.-мат. наук )

Неопределенные интегралы

1.  Первообразная, определение и примеры первообразных.

2.  Определение неопределенного интеграла. Примеры.

3.  Таблица неопределенных интегралов.

4.  Основные свойства неопределенного интеграла.

5.  Основные методы интегрирования: 1) – подведение функции под знак дифференциала;

6.  2) – интегрирование по частям.

7.  3) –замена переменных.

8.  Интегрирование простейших рациональных дробей.

9.  Примеры рациональных дробей (функций), правильных и неправильных рациональных дробей. Схема интегрирования рациональных функций (дробей).

10.  Интегрирование тригонометрических выражений.

11.  Интегрирование простейших иррациональных функций

Определенные интегралы

12.  Понятие определенного интеграла. Свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

13.  Замена переменной и в определенном интеграле.

14.  Интегрирование по частям в определенном интеграле.

15.  Несобственные интегралы: с бесконечными пределами.

16.  Несобственные интегралы от разрывных функций.

17.  Приложения определенного интеграла:

18.  1) – вычисление площадей плоских фигур,

19.  2) – вычисление длин дуг плоской кривой,

20.  3) –вычисление объемов тел вращения..

Обыкновенные дифференциальные уравнения и их системы

21.  Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям (ДУ).

22.  Основные понятия дифференциальных уравнений: определение ДУ и его решения, по рядок ДУ, задача Коши, общее и частное решение, общий и частный интеграл.

23.  ДУ первого порядка, теорема существования и единственности решения задачи Коши.

24.  Основные классы ДУ-I: с разделяюимися переменными, однородные, линейные.

25.  ДУ высших порядков. ДУ-II, допускающие понижение порядка.

26.  Линейные однородные ДУ-II с постоянными коэффициентами: характеристическое уравнение, структура общего решения, решение задачи Коши.

27.  Линейные неоднородные ДУ-II с постоянными коэффициентами: структура общего решения, специальная правая часть, метод подбора частных решений, решение задачи Коши.

28.  Метод вариации произвольных постоянных.

29.  Системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

Двойной и тройной интегралы

30.  Определение и геометрический смысл двойного интеграла

31.  Свойства двойного интеграла.

32.  Расстановка пределов в повторных интегралах.

33.  Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах.

34.  Переход от двойного интеграла к повторным интегралам.

35.  Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат.

36.  Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

37.  Вычисление тройного интеграла в цилиндрической системе координат.

38.  Приложение двойных и тройных интегралов.