Пример 4. Имеется блок, входящий в систему. Вероятность безотказной работы его в течение заданного времени T равна 0,85. Для повышения надежности устанавливают такой же резервный блок. Определить вероятность безотказной работы за время Т с учетом резервного времени.

Решение. Введем события: А={безотказная работа данного блока за время Т}, B={ безотказная работа резервного блока за время Т}. По условию P(A)=P(B)=0,85. Пусть событие С={ безотказная работа данного блока с учетом резервного за время Т}. Так как события А и В - совместны, но независимы, то по формулам (1), (5) получим
P(C)=P(A)+P(B)–P(A)×P(B)=0,85+0,85–0,85×0,85=0,9775.

Пример 5. Рабочий, обслуживающий 2 станка, вынужден был отлучиться на некоторое время. Вероятность того, что в течение этого времени станки не потребуют внимания рабочего, равны и . Найти вероятность того, что за время отсутствия рабочего ни один станок не потребует его внимания.

Решение. Пусть событие А={первый станок не потребует внимания рабочего за время его отсутствия}, B={второй станок не потребует внимания рабочего за время его отсутствия}. Эти события независимы, поэтому по формуле (5) получим: P(AB)=P(A)×P(B)=0,7×0,8=0,56.

Пример 6. У сборщика имеется 6 деталей без дефекта и 2 детали с дефектом. Сборщик берет подряд 2 детали. Найти вероятность того, что обе детали - без дефекта.

Решение. Пусть событие А={первая деталь - без дефекта}, B={вторая деталь - без дефекта}. Нас интересует событие А×В. По теореме умножения вероятностей (формула (4)) имеем .

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Пример 7. 3 стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка - 0,6, для второго - 0,7, для третьего - 0,8. Найти вероятность одного попадания в цель.

Решение. Пусть ={попадание i-го стрелка в цель), противоположные события ={промах i-го стрелка}, i=1,2,3. Рассмотрим событие А={одно попадание в цель при стрельбе 3 стрелков}. Это событие может наступить при наступлении одного из следующих несовместных событий: . Тогда , а его вероятность

Пример 8. Техническое устройство, состоящее из 3 узлов, работало в течение некоторого времени Т. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью 0,1, второй - с вероятностью 0,15, третий - с вероятностью 0,12. Найти вероятность того, что за время работы хотя бы 1 узел технического устройства выйдет из строя.

Решение. Пусть событие ={выход из строя i-го узла технического устройства} . Тогда событие - выход из строя хотя бы одного из 5 узлов. События совместны и независимы. Поэтому вероятность события А определяется по формуле (8):

Следовательно, P(A)=1-0,9×0,85×0,88=1-0,6732=0,3268.

3. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ФОРМУЛА БАЙЕСА

Если событие А может произойти только совместно с одним из событий , образующих полную группу событий (гипотез), то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности
, (9)
где - вероятность гипотезы ; - условная вероятность события А при этой гипотезе, . Вероятность гипотезы после того, как появилось событие А, определяется по формуле Байеса
(10)

Пример 9. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных заводом №1, 20 деталей - заводом №2 и 18 деталей - заводом №3. Вероятность того, что деталь, изготовленная заводом №1, - отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах №2 и №3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется отличного качества.

Решение. Пусть событие А={деталь отличного качества}. Рассмотрим гипотезы: ={деталь изготовлена заводом №1}; = {деталь изготовлена заводом №2};
={ деталь изготовлена заводом №3}. Вероятности этих гипотез: . Условные вероятности: . По формуле полной вероятности (9) при n=3 находим искомую вероятность .

Пример 10. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятность гарантийной работы кинескопа: 0,8; 0,95; 0,9 и 0,7 для первого, второго, третьего и четвертого соответственно. Найти вероятность того, что наудачу выбранный кинескоп будет работать в течение гарантийного срока.

Решение. Событие А={кинескоп проработает гарантийный срок}. Гипотезы ={выбран k-й кинескоп} (k=1,2,3,4). Эти гипотезы равновероятны, т. е. . Условные вероятности . По формуле полной вероятности (9) при n=4 находим искомую вероятность события А
.

Пример 11. Самолет морской авиации производит бомбометание с малой высоты по кораблю противника. При попадании бомбы в надводную часть корабль гибнет с вероятностью 0,6, при попадании в подводную часть - с вероятностью 0,9. Вероятность попадания бомбы в надводную часть равна 0,6, в подводную - 0,4. Определить вероятность гибели корабля в результате бросания одной бомбы.

Решение. Событие А={гибель корабля}. Формулируем гипотезы: ={попадание бомбы в надводную часть корабля}; ={попадание бомбы в подводную часть корабля}. По условию вероятности гипотезы соответственно равны: . Условные вероятности события А будут такими: . Тогда:

Пример 12. Счетчик регистрирует частицы 3 типов: А, В и С. Вероятности появления этих частиц: P(A)=0,2; P(B)=0,5; P(C)=0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями . Счетчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была частица типа В.

Решение. Обозначим событие D={счетчик уловил частицу}. Гипотезы: ={появление частицы типа А}; ={появление частицы типа В}; ={появление частицы типа С}. Вероятности гипотез: . Условные вероятности: . Искомую вероятность определим по формуле Байеса (10)

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11