Методические указания и задания к контрольной работе № 3 для студентов-заочников специальности 1-26.02.02 «Менеждмент» (стр. 9 )

Пример 33. Даны 100 значений температуры масла двигателя
БелАЗ при средних скоростях:

52 48 52 51 52 48 52 51 48 46 52 47

50 52 49 53 51 53 48 47 47 48 47 49

53 50 53 49 51 52 49 49 53 49 54 50

49 50 51 50 52 50 50 52 51 52 53 52

51 49 52 51 50 51 50 49 50 51 50 49

51 54 52 49
Требуется:
1) составить интервальные статистические ряды частот и частостей наблюденных значений непрерывной СВ x;
2) построить полигон и гистограмму частостей СВ x;
3) по виду гистограммы и полигона и исходя из механизмов образования исследуемой СВ x сделать предварительный выбор закона распределения;
4) предполагая, что исследуемая СВ x распределена по нормальному закону, найти точечные оценки параметров нормального распределения, записать гипотетичную функцию распределения СВ x;
5) найти теоретические частоты нормального распределения, проверить согласие гипотетической функции распределения с нормальным законом с помощью критерия согласия c2 (уровень значимости принять равным a=0,05);
6) найти интервальные оценки параметров нормального распределения (доверительную вероятность принять равной g=1–a=0,95).

Решение. Температура масла в двигателе является непрерывной случайной величиной. Обозначим ее x.

1). Для построения интервального статистического ряда выбираем наибольшее xmax и наименьшее xmin из имеющихся значений СВ x: xmax=56, xmin=46.

Диапазон имеющихся значений разобьем на 6 частичных интервалов равной длины h (обычно число интервалов k выбирают в пределах от 5 до 15). Разбиение произведем так, чтобы xmin было серединой первого частичного интервала, xmax - серединой последнего
(k-го интервала). Очевидно, длина отрезка [xmin, xmax] будет равной (k-1)h. Отсюда находим
.
Начальную точку берем равной xmin–h/2=46–1=45. Получаем частичные интервалы [45, 47), [47, 49), [49, 51), ..., [55, 57). Подсчитываем для каждого интервала частоты mi и вычисляем частости , где n=100 - число выборочных значений СВ x. Строим интервальный статистический ряд частот и частостей СВ x.

xi	[45, 47)	[47, 49)	49, 51)	[51, 53)	[53, 55)	[55, 57)
mi	4	13	34	32	12	5
wi	0,04	0,13	0,34	0,32	0,12	0,05
wi/h	0,02	0,065	0,17	0,16	0,06	0,025

2). Для получения гистограммы частостей на каждом из интервалов строим прямоугольник высотой wi/h. Соединяя середины верхних сторон прямоугольников, получаем полигон частостей.

3). Вид полигона и гистограммы частостей напоминает кривую нормального распределения. Кроме того, температура масла складывается под воздействием большого числа независимых случайных факторов (обороты двигателя, нагрузка двигателя, температура охлаждающей жидкости и др.), сравнимых по своему рассеиванию. Сказанное позволяет сделать предположение о нормальном распределении СВ x.

4). Вычисляем точечные оценки параметров нормального распределения.
.
При вычислении удобно пользоваться формулой


.
Записываем функцию распределения нормального закона
.

5). Вычисляем вероятности pi попадания значений рассматриваемой СВ x с функцией распределения F0(x) в i-й частичный интервал и теоретические частоты npi. Значения функции F(x) берем из таблицы (см. Прил. 2). Контролируем выполнение неравенства npi>10 ().

Находим c2 - статистику Пирсона

Из таблицы c2 - распределения (см. Прил. 3) по уровню значимости a=0,05 и числу n=k-3=6-3=3 выбираем значение =7,815. Сравниваем вычисленное значение c2 с табличным: 1,6305<7,815. Поскольку c2<, гипотеза о нормальном распределении температуры масла с параметрами a=51, s=2,285 согласуется с опытными данными.

6). Чтобы записать доверительный интервал для a=M(x), из таблицы t -распределения (см. Прил. 5) по данным g=0,95 и n=100 выбираем tg,n: tg,n =1,984. Вычисляем . С вероятностью 0,95 неизвестное значение покрывается интервалом 51-0,4533<a<51+0,4533; 50,547<a<51,453. Чтобы записать доверительный интервал для , из специальной таблицы (см. Прил. 6) по доверительной вероятности g=0,95 и числу n=n–1=100–1=99 , берем коэффициенты q1=0,878 и q2=1,161. С вероятностью 0,95 неизвестное значение s покрывается интервалом 2,285×0,878<s<2,285×1,161; 2,006<s<2,653.

Контрольное задание № 3

1.  Найти область сходимости степенного ряда:

1.1. 1.2. 1.3.

1.4. 1.5. 1.6.

1.7. 1.8. 1.9.

1.10. 1.11. 1.12.

1.13. 1.14. 1.15.

1.16. 1.17. 1.18.

1.19. 1.20. 1.21.

1.22. 1.23. 1.24.

1.25.

2.  Для данной случайной величины (CB)ξ:

1)  составить закон распределения CB;

2)  найти математическое ожидание M(ξ) и дисперсию D(ξ);

3)  найти функцию распределения F(x).

2.1. На участке имеется 5 одинаковых станков, коэффициент использования

которых по времени составляет 0,8. СВ ξ – число работающих станков.

2.2. Охотник, имеющий 5 патронов, стреляет в цель до первого попадания

или пока не расходует все патроны). Вероятность попадания при каждом

выстреле равна 0,6. СВ ξ – число израсходованных патронов.

2.3. Охотник стреляет в цель до первого попадания, но успевает сделать не

более 4 выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна

0,7. СВ ξ – число выстрелов, производимых охотником.

2.4. В партии деталей – 10% нестандартных. Наудачу отобраны 4 детали. СВ

ξ – число нестандартных деталей среди четырех отобранных.

2.5. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов.