Методические указания и задания к контрольной работе № 3 для студентов-заочников специальности 1-26.02.02 «Менеждмент» (стр. 6 )

Таблица

x			...
P			...

называется рядом распределения вероятностей дискретной СВ x или законом распределения дискретной СВ x. Поскольку дискретная СВ x обязательно принимает одно из значений , события {x=} образуют полную группу событий, поэтому . Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения.

5.2.Функция распределения случайной величины

Функцией распределения СВ x (интегральной функцией СВ x) называется функция F(x), равная вероятности P(x<x) того, что СВ x примет значение, меньшее, чем x, т. е. F(x)=P(x<x). Свойства функции распределения:
1. 0£F(x) £1.
2. F(x) - неубывающая функция, т. е. <ÞF()£F().
3. Если СВ x принимает возможное значение с вероятностью , то F(+0) – F( – 0)=.
Функция распределения F(x) в точке непрерывна слева.
4. .
5. P(a£x<b)=F(b)-F(a).

Случайная величина x называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна.
6. Если x - непрерывная СВ, то P(x=x)=0.

5.3. Плотность вероятностей непрерывной случайной величины

Плотностью распределения СВ x ( дифференциальной функцией распределения СВ x ) называется функция p(x), такая, что функция распределения F(x) выражается формулой .
Свойства плотности вероятности:
1. p(x)³0.
2. .
3. .
4. p(x)=.

Пример 20. В партии из 6 деталей имеется 4 стандартных. Наудачу отобраны 3 детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных, построить функцию распределения.

Решение. СВ x - число стандартных деталей из 3 отобранных - может принимать следующие значения: =1, =2, =3. Вероятности возможных значений x определим по формуле . Итак,
.
Составим ряд распределения:

	1	2	3
	1/5	3/5	1/5

Для построения функции распределения дискретной СВ x воспользуемся тем свойством F(x), что при
.
В точке функция F(x) имеет скачок
= P(x =) = F(+ 0) – F(– 0) и, значит, для всех
.
Таким образом, функция распределения дискретной СВ x - кусочно-постоянна, имеет скачки в точках разрыва и непрерывна слева в точках разрыва . Для данной СВ x функция F(x) и ее график имеют вид

Пример 21. Случайная величина задана плотностью распределения вероятностей

Следует:
1) найти коэффициент a;
2) найти функцию распределения F(x);
3) вычислить вероятность неравенства p/4<x<p/2;
4) построить графики функций p(x), F(x).

Решение.

1). Коэффициент а определим из равенства
или .

2). ,
тогда

3). Вероятность

6. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

К числовым характеристикам СВ относятся: математичесое ожидание M(x), дисперсия D(x), среднее квадратическое отклонение s(x), моменты и др.

Пусть x - дискретная СВ, принимающая значения с вероятностями соответственно. Математическим ожиданием СВ x, или средним значением, называется число

в предположении, что этот ряд сходится абсолютно.

Если СВ x - непрерывна с плотностью p(x), то математическое ожидание определяется интегралом
.
Дисперсией или рассеянием D(x) СВ x называется математическое ожидание квадрата отклонения СВ x от ее математического ожидания, т. е.
.
Для дискретной СВ x дисперсия определяется равенством
.
Для непрерывной СВ
.
Из свойств дисперсии получается удобная рабочая формула для ее вычисления
.
Итак, - для дискретной СВ;
- для непрерывной СВ.
Среднее квадратическое отклонение
.