Сравнительный анализ условий равновесия жидкости в полостях с эллиптическими сечениями

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ УСЛОВИЙ РАВНОВЕСИЯ ЖИДКОСТИ В ПОЛОСТЯХ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМИ СЕЧЕНИЯМИ

,

Московский государственный технический университет им.

Представленная здесь информация, в частности, полезна при проведении расчетов теплового режима приборных отсеков космических аппаратов в условиях слабой гравитации. Существенно и следующее: возникающие критические движения представляют естественный полный базис для разложения любого конвективного движения в полости [1]. Это обстоятельство может быть полезно при итерационном аналитическом решении нелинейных задач конвекции.

К уравнениям конвекции в приближении Буссинеска применена линейная теория устойчивости. Исключены возмущение давления и горизонтальные компоненты скорости применением к векторному уравнению движения операции rotrot и проектирования на ось y. На оси тел вращения принимались условия симметрии; на внешних же границах полостей использованы для температур – условия как 1-го(λ=, так и 2-го(λ=рода, а для вертикальной компоненты скорости - условия прилипания, с приравниванием нулю и нормальных производных (следствие уравнения неразрывности). Для температурных и скоростных амплитуд использованы тригонометрические разложения с включением ,-для выполнения граничных условий; - коэффициентов, зависящих от координат и, в общем случае, от волновых чиселn.Масштаб расстояния в выражениях { Raкр }— всегда половина максимального размера по горизонтали.

В таблице и на рисунках представлена информация для полостей с эллиптическими сечениями: слева - для горизонтальных цилиндров неограниченной протяжённости, а справа - для тел вращения вокруг вертикальной оси. В пяти столбцах таблицы (левых и правых) и в пяти вертикальных полосах каждого из рисунков приведены значения критических чисел Рэлея (Raкр) в соответствии убыванию значений отношения вертикальной оси к горизонтальной (2;1;0.5;0.1}). Здесь в двух строках таблицы содержатся лишь минимальные Raкр– для случаев с идеально изолированными (λ=0) и с идеально теплопроводными (λ= границами; везде чертой отделяются соответствующие этим { Raкр } значения волновых чисел n А на рисунках представлено по три кривые , в каждой из полос которых - по пяти начальных значений Raкр ; при этом значения {Raкр} для случаев с λ= показаны отражёнными относительно центральной вертикали.

283.4-2	203.9-0	133.4-0	125.0-0	124.2-1		225.0-1	254.2-0	255.0-1	256.2-2	405.4-2
526.9-2	506.6-2	252.0-1	179.1-2	170.5-2		555.0-0	570.0-1	597.3-1	627.7-2	858.1-2

Найденные значения согласуются с известными литературными данными [2]. Замечено три группы соотношений во множестве{ Raкр }. Во - первых, из двух значений { Raкр }.большее всегда получается в случае идеально теплопроводной границы – при идентичности всех остальных условий сравнения. Во-вторых, из двух соседних по возрастанию групп {Raкр} с n=0...2 даже большее значение из 1-ой группы не превышает меньшего из 2-ой группы. И в-третьих, в полостях с эллиптическими сечениями при Y влияние роста Y, при идентичности других условий сравнения, различно; в горизонтальных цилиндрах рост Y приводит к повышению (рост{Raкр})устойчивости равновесия жидкости, а в телах вращения - к её снижению. Высказано предположение о выполнимости этих соотношений для всех полостей - горизонтально - эллиптических (вместе с их симметричными внутренностями) и для эллипсоидов вращения, - подтверждение которого, конечно, требует дополнительной информации. В работе рассмотрены и структуры возникающих течений, изолинии температур и скоростей.

ЛИТЕРАТУРА.

1. , Об уравнениях стационарной конвекции //ПММ. 1963.Т.27. №2.С.295-300.

2. , . Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.

COMPARATATIVE ANALYSIS OF FLUID EQUILLIBRIUM CONDITIONS IN CAVITIES OF ELLIPTICAL CROSS-SECTION

A. M. Pylaev, P. A. Semenyov

Bauman Moscow State Technical University

Presented results could be useful in calculation of thermal conditions of instrumentation spaceship modules in weak gravitation field. It is important to mention that emerging critical motions are a natural full basis for description of any convective motion in a cavity [1]. This fact could be used in iterative analytical solution of nonlinear convection problems.

Linear stability theory is applied to Boussinesq approximation of convection equations. Influence of pressure disturbances and horizontal velocity components are eliminated by applying rotrot operation to vector motion equation and projecting it on Y-axis. Symmetry condition was taken on an axis of bodies of revolution; 1st (λ=, and 2nd (λ= type temperature boundary conditions were used on external cavity boundaries; no-slip condition was taken for vertical velocity component, with normal derivatives set equal to 0 due to continuity equation. Trigonometric expansions was used for temperature and velocity amplitudes including coordinate-dependent and in the general case wave number-dependent coefficients for boundary conditions implementation. Length scale in {RaCR} numbers always equal to half of maximum horizontal dimension.

Calculation results for cavities of elliptical cross-section are presented in table and on figures: left-side data is for horizontal unbounded extent cylinders, right-side data is for bodies of revolution about an vertical axis. In five columns of the table (both left and right parts) and in five vertical stripes of both figures values of critical Rayleigh numbers (RaCR) are shown in compliance with decreasing values of vertical axis - horizontal axis ratio (2;1;0.5;0.1}). Two rows of the table contain only minimal RaCR for thermally isolated (λ=0) and perfectly heat-conducting (λ= boundaries; lines (dashes) after values of {RaCR} separate these values from corresponding wave numbers n. Each figure contains three curves , all stripes in these curves consists of five initial RaCR values; critical Rayleigh numbers {RaCR} for λ= cases are shown reflected about a central vertical line.

283.4-2	203.9-0	133.4-0	125.0-0	124.2-1		225.0-1	254.2-0	255.0-1	256.2-2	405.4-2
526.9-2	506.6-2	252.0-1	179.1-2	170.5-2		555.0-0	570.0-1	597.3-1	627.7-2	858.1-2

Values obtained are consistent with published data [2]. Three groups of correlation are noticed in {RaCR} set. First of all, larger out of two Rayleigh numbers {RaCR} always corresponds to perfectly heat-conducting boundary with all other conditions being equal. Secondly, in two adjacent ascending groups {RaCR} with n=0...2 largest value from the first group less than the least from the second group. Finally, in cavities of elliptical cross-section at Y influence of Y increase, with all other conditions being equal, differs and leads to increasing of {RaCR} and fluid equilibrium stability in horizontal cylinders, and reduction fluid equilibrium stability in bodies of revolution. It is suggested that these correlations are valid for all types of cavities: horizontally-elliptical (with the symmetrical internal regions) and ellipsoids of revolution; the confirmation of which requires additional data. Flow structures, isolines of temperature and velocity are also discussed in this study.

REFERENCES.

1. , Об уравнениях стационарной конвекции //ПММ. 1963.Т.27. №2.С.295-300.

2. , . Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.