Уравнения с разделяющимися переменными (стр. 2 )

 б) В воздухе комнаты объёмом 200 м3 содержится 0.15% углекислого газа СО2. Система вентиляции подаёт 20м3 воздуха в минуту. Воздух, подаваемый ею, содержит 0.04% СО2. Через какое время количество углекислого газа в воздухе комнаты уменьшится втрое?

§3. ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ

 Однородные уравнения могут быть записаны в виде . Эти уравнения решаются подстановкой y = t×x, где t = t(x) является функцией переменной x.

Задача 5.

 Решить однородное уравнение

.

 Решение. Полагаем y = t×x, t = t(x) - функция x. Тогда

y¢ = t + t¢x. Подставляя в уравнение это выражение для y¢, получим

.

// '); // --> Новый почтовик. Выгодные условия для рекламодателей.

Полученное уравнение относительно t является уравнением с разделяющимися переменными. Решим его:

.

Пусть x = lnt, тогда

.

Вычислим интеграл подстановкой . Тогда

x = 2arctgu, ; .

Подставляя эти выражения в интеграл, получим

.

Возвращаясь к старым переменным, найдём решение:

.

Задачи для самостоятельной подготовки

Решить однородные уравнения:

а) ; б) ;

в) ; г) ;

д) ; е) .

§4. ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

 Линейное уравнение первого порядка y¢ + a(x)y = b(x) имеет решение

,

выраженное через неопределённые интегралы.

 Задача Коши y¢+a(x)y = b(x), y(x0) = y0 имеет решение

.

Обратите внимание на переменные интегрирования!

Задача 6.

Решить уравнение

 Решение. Общее решение этого уравнения имеет вид

Находя интегралы, получим

Общее решение линейного уравнения может быть найдено также с помощью метода вариации произвольной постоянной. В этом случае сначала ищется решение соответствующего однородного уравнения.

  // '); // --> IPHONE - 10.000 рублей, Ноутбуки от 8000 рублей, Мобильные телефоны от 1000 рублей. А так же многое другое. Весь товар 100% новый с гарантией.

Оно имеет вид

.

Общее решение неоднородного уравнения ищется в таком же виде,

но произвольную постоянную заменяют функцией C = C(x).

Задача 7.

Решить уравнение

(*)

 Решение. Сначала найдём общее решение соответствующего

однородного уравнения y¢ + 2xy = 0: y = . Общее решение

уравнения (*) будем искать в виде

 (**)

Подставив эту функцию и её производную в уравнение (*), получим дифференциальное уравнение относительно С(х): С(х) = 1. Отсюда С(x) = x + C1, где С1 – произвольная постоянная. Подставляя функцию С(х) в (**), получим общее решение уравнения (*).

Задачи для самостоятельной подготовки

а) Решить задачу Коши (начальную задачу)

y¢ = 4x + 2y, y(0) = 1;

б) Решить уравнение, линейное относительно переменной х

(2ey - x)y¢ = 1.

§5. УРАВНЕНИЯ В ПОЛНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛАХ

 Уравнение

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

называется уравнением в полных дифференциалах, если

;

в этом случае существует функция u(x, y), полный дифференциал которой равен

du = Mdx + Ndy.

Общее решение уравнения в полных дифференциалах имеет вид

u(x, y) = C.

Функцию u можно найти по формуле

,

где криволинейный интеграл второго рода берётся от точки M(x0,y0) (любая точка) к точке M(x, y) по произвольной кривой (см. рис. 2)

рис. 2

Эти кривые удобны тем, что дифференциалы dx, dy равны нулю на их отдельных участках.

  // '); // --> Найди друга в игровой вселенной с помощью социальной сети "Город Геймеров"

Задача 8.

Решить уравнение

.

 Решение. Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах, так как

.

Найдём его общее решение в виде u(x, y) = C, где

.

Интегрируя, получим

.

Общее решение имеет вид

.

 Функцию u(x, y) можно найти и другим способом, если воспользоваться равенствами

 и

Из этого равенства находим u(x, y) с точностью до произвольной дифференцируемой функции:

,

где j(y) – произвольная дифференцируемая функция; F(x, y) – первообразная от M(x, y). Подставляя полученное выражение функции u(x, y) во второе равенство, получим дифференциальное уравнение для определения функции j(у):

.

Задача 9.

Решить уравнение

2xydx+(x2 – y2)dy = 0.

 Решение. Это уравнение является уравнением в полных дифференциалах, так как

.

Будем искать функцию u(x, y), полный дифференциал которой равен левой части дифференциального уравнения, из соотношения

.

Отсюда

.

Составим дифференциальное уравнение для определения функции j(у):

.

Таким образом,

,

и

,

а все решения исходного уравнения выражаются формулой

 или .

 В некоторых случаях, когда дифференциальное уравнение не является дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, можно подобрать функцию m(x, y), после умножения на которую левая часть дифференциального уравнения становится положительным дифференциалом.

 Функция m(x, y) в этом случае называется интегрирующим множителем.

 Интегрирующий множитель может быть найден из дифференциального уравнения

, (*)

которое в общем случае решить не проще, чем исходное уравнение. Если же m зависит только от х, т. е. m(х, у) = m(х), то

.

Если же m = m(у), то уравнение (*) имеет вид

.

// '); // --> Уникальные футболки с оригинальным дизайном.