Уравнения с разделяющимися переменными (стр. 1 )

§1. УРАВНЕНИЯ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Если уравнение  можно записать в виде  или , то это уравнение с разделяющимися переменными. Общий интеграл такого уравнения записывается в виде квадратур:

.

  Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Общее решение дифференциального уравнения ищется с помощью интегрирования левой и правой частей уравнения, которое предварительно преобразовано следующим образом:

 Теперь интегрируем: 

   - это общее решение исходного дифференциального уравнения.

  Допустим, заданы некоторые начальные условия: x0 = 1; y0 = 2, тогда имеем

 При подстановке полученного значения постоянной в общее решение получаем частное решение при заданных начальных условиях (решение задачи Коши).

Задача 1.

 Найти общий интеграл дифференциального уравнения

. (1)

 Решение. Запишем производную  в виде:

// '); // --> Креаторы. Ру - клуб дизайнеров и художников

и будем использовать эту запись как дробь (эта возможность следует из инвариантной формы первого дифференциала). Если разделить (1) на , то получим следующее

.

Интегрируя обе части полученного равенства, найдём общий интеграл:

.

Задачи для самостоятельной подготовки

 Решить уравнения с разделяющимися переменными:

а) ; д) ;

б) ; е) ;

в) ; ж) ;

г) ; з) ;

§2. ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

 При решении физических задач необходимо:

1)  определить, какую из физических величин взять за независимое переменное, а какую – за зависимое;

2)  найти приращение  из условий задачи;

3)  разделив полученное равенство на и перейдя к пределу при , получить дифференциальное уравнение.

Задача 2.

 Тело охладилось за 10 минут от 100 до 60°. Температура окружающего воздуха поддерживается равной 20°. Когда тело остынет до 25°?

Решение. Обозначим температуру тела, которая зависит от времени t, через T(t). Тогда T(0) = 100 – начальная температура тела. Т(10) = 60 – температура тела через 10 минут. Найдём функцию T(t). Температура тела в момент  меньше, чем в момент t, причём разность  пропорциональна разности температур тела и воздуха Т – Тв в силу простого физического закона: количество тепла, выделяемого телом за единицу времени, пропорционально температуре тела. Следовательно,

.

Отсюда .

Перейдя к пределу, получим . Решим полученное дифференциальное уравнение. Введём обозначение , тогда уравнение для функции t примет вид

.

Его решение имеет вид

.

// '); // --> Оцени дизайн футболки и купи ее.

Возвращаясь к старой переменной, получим решение исходного уравнения:

.

Найдём коэффициент К из условия Т(10) = 60. Получим

.

Окончательно решение примет вид

.

Время, в течении которого тело остынет до 25°, найдём из уравнения Т(t) = 25,

получим

.

Ответ: через 40 минут.

  // '); // --> Найди друга в игровой вселенной с помощью социальной сети "Город Геймеров"

Задача 3.

 Для остановки судов у причала с них бросают швартовый канал, который наматывают на кнехт (столб), стоящий на пристани. Какая сила будет тормозить судно, если канат делает три витка вокруг кнехта, коэффициент трения каната о кнехт равен k = 1/3 и рабочий на пристани тянет свободный конец каната с силой 10кг?

 Решение. Выведем уравнение для модуля силы торможения корабля в зависимости от угла поворота вокруг столба (уравнение Эйлера). Рассмотрим рисунок столба с намотанным на него канатом (вид сверху)

рис. 1

Участок длины каната между углами  и  должен быть уравновешен действующими на него силами (так как канат неподвижен). На этот участок каната действуют три силы: сила P(j), приложенная к точке А, сила P(j+Dj), приложенная к В и сила трения Pтр. Уравнение состояния имеет вид P(j+Dj) - P(j) + Pтр = 0. Найдём силы без учёта величин порядка 0(Dj). Из рисунка видно, что силы P(j) и P(j+Dj) прижимают отрезок каната с силой [P(j) + P(j+Dj)]SinDj/2, которая направлена к центру столба. Величина силы трения равна

Pтр = k[P(j) + P(j+Dj)]SinDj/2 @ P(j)Dj×k

Следовательно, получено соотношение между силами

P(j+Dj) - P(j) = - k P(j)Dj.

Разделив на Dj и перейдя к пределу, получим P¢ = - kP. Его решение P(j) = P(0)e-kj (формула Эйлера). Сила P(j) после трёх оборотов j = 2p×3 равна P(6p) = 10 кг. Отсюда получим силу торможения корабля:

P(0) – P(6x)e(1/3)6x @ 10×e6,28 = 5000 кг.

Задача 4.

 Масса ракеты с полным запасом топлива равна М, без топлива m, скорость истечения продуктов горения из ракеты равна с, начальная скорость ракеты равна нулю. Найти скорость ракеты после сгорания топлива, пренебрегая силой тяжести и силой сопротивления воздуха (формула Циолковского).

 Решение. Обозначим через x массу сгоревшего топлива, а через v(x) – скорость ракеты как функцию от массы сгоревшего топлива. По закону сохранения импульса получим соотношение

[v(x+Dx) - v(x)] ×(M - x) = cDx.

Слева в этом равенстве стоит величина приращения импульса ракеты, которая стала легче на x, справа – величина импульса сгоревшего топлива массы Dx. Разделив обе части равенства на Dx и перейдя к пределу, получим уравнение

.

Решая его, получим

.

Когда топливо сгорело, x = M – m. Следовательно, скорость ракеты после сгорания топлива равна

.

Задачи для самостоятельной подготовки

 а) Воронка имеет форму конуса радиуса R = 6 см и высоты H = 10 см, обращённого вершиной вниз. За какое время из воронки через отверстие диаметра 0.5 см, сделанное в вершине конуса, вытечет вся вода?