Уравнения с разделяющимися переменными (стр. 3 )

Задача 10.

Решить уравнение

(1 – x2y)dx + x2(y – x)dy = 0.

 Решение. Так как

зависит только от х, то и m будет зависеть только от х. Решив уравнение

,

получим, что m(х) = 1/х2. Умножив обе части исходного уравнения на m(х), получим уравнение в полных дифференциалах

(y – x2)dx – (y – x) dy = 0.

Решив его описанным выше способом, получим общее решение в виде

u(x, y) = C, где u(x, y) = x-1 – yx + (½)×y2 или xy2 – 2x2y – 2 = Cx.

Задачи для самостоятельной подготовки

Решить уравнение

а) ;

б) .

§6. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ

 Теоремы существования и теоремы единственности решений дифференциальных уравнений являются фундаментом, на котором основаны всякого рода расчёты нелинейных уравнений.

 Т е о р е м а (существования и единственности)

 Пусть задача Коши y¢ = f(x, y), y(x0) = y, где функция f(x, y) такова, что на множестве R = {(x, y): (x-x0) £ a, (y-y0) £ b}, | f | £ m и f,

f¢ - непрерывны. Тогда на отрезке x0 – d £ x £ x0 + d существует единственное решение задачи Коши, где d = min{a, b/m}, к которому сходится последовательность функций yk(x), k Î N, определённых по формулам

, k = 1, 2, …

// '); // --> Распродаем КОНФИСКАТ. Аудио, Видео, Компьютерная техника. Весь товар новый! Спешите сделать удачную покупку. Мы ждем вас!!!

Задача 11.

Указать какой-нибудь интервал, на котором существует решение задачи Коши y¢ = x + y3, y(0) = 0; x0 = 0, y0 = 0.

 Решение. Отрезок, на котором существует единственное решение задачи Коши [x0 – d, x0 +d], определяется по формуле

d = min{a, b/m}. Выбрав a = 1, b = 1, получим значения для m:

m = max| x + y3 |, (x, y) Î R,

отсюда m = 2 и d = ½. Отрезок, на котором существует единственное решение задачи, есть [- ½, ½].

Задачи для самостоятельной подготовки

 Указать какой-нибудь отрезок, на котором существует единственное решение задачи Коши:

а)  в)

б)  г)

§7. УРАВНЕНИЯ, НЕ РАЗРЕШЁННЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВОДНОЙ

 а) Пусть дифференциальное уравнение первого порядка задано в виде, не разрешённом относительно производной:

F(x, y, y¢) = 0 (*)

 Если уравнение (*) можно решить относительно производной, то его решение находится одним из вышеописанных способов.

 В противном случае может быть использован метод введения параметра, который позволяет получить решение уравнения (*) в параметрическом виде. Но для этого необходимо, чтобы уравнение можно было разрешить относительно x или y.

 1. Пусть уравнение (*) можно разрешить относительно у, т. е. записать его в виде y = f(x, y¢). Будем считать y¢ параметром. Тогда

у¢ = р, y = f(x, p) и остаётся найти зависимость х от того же параметра р. С этой целью используется известное равенство dy = y¢dx, в которое вместо dy подставляем его выражение, учитывающее, что

y = f(x, p), т. е. dy = fx¢dx + fy¢dp, где вместо у¢ записываем р. Тогда получим уравнение

fx¢dx + fр¢dp = pdx

или

(fx¢ - р)dx + fр¢dp = 0,

из которого находим х = х(р).

 2. Пусть уравнение (*) можно разрешить относительно х, т. е. записать в виде x = f(y, y¢). Аналогично предыдущему, полагаем

у¢ = р. Тогда x = f(y, p) и из равенства dy = y¢dx получаем уравнение относительно функции у = у(р):

dy = p(fy¢dy + fp¢dp).

  // '); // --> IPHONE - 10.000 рублей, Ноутбуки от 8000 рублей, Мобильные телефоны от 1000 рублей. А так же многое другое. Весь товар 100% новый с гарантией.

Задача 12.

 Решить уравнение x = y¢ 3 + y¢.

 Решение. Введём параметр р = у¢. Отсюда х = р3 + р,

dx = (3p2 + 1)dp. Подставив x, dx, y¢ = p в известное соотношение

dy = y¢dx, получим дифференциальное уравнение dy = p(3p2 + 1)dp для определения у как функции, зависящей от параметра р.

 Интегрируя, получим . Так как х = р3 + р, то однопараметрическое семейство кривых

х = р3 + р

, p Î R

является решением задачи.

 б) Решение y = j(x) уравнения F(x, y, y¢) = 0 называется особым, если каждая точка кривой y = j(x) является точкой разветвления интегральных кривых. Так как в каждой точке кривой

y = j(x) теряется единственность решения, то условие разветвления будет иметь вид ; учитывая, что F(x, y, y¢) = 0, исключая y¢, получим j(x, y) = 0. Кривая j(x, у) = 0 называется дискриминантной кривой. Следующим шагом является проверка того факта, что эта кривая является решением.

Задача 13.

 Найти особое решение уравнения

F(x, y, y¢) = xy¢ 2 – 2yy¢ + x = 0.

 Решение. Вычислим  Отсюда следует, что функции у = + х – дискриминантные кривые. Проверим, что у = + х является решением, подставляя в уравнение

x[(+ х)¢]2 - 2(+ х) (+ х)¢ + x = 0, "x Î R.

// '); // --> Креаторы. Ру - клуб дизайнеров и художников

Задачи для самостоятельной подготовки

а)  д)

б)  е)

в)  ж)

г)  з)

§8. РАЗНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Задачи для самостоятельной подготовки

 Решить уравнения:

а) 2y¢ = x + lny¢; д) e-y(1 + y¢) = 1;

б) 2xy¢ - y =Siny¢; е) xy¢ = y(lny + lnx);

в) y¢2 - yy¢ + ex = 0; ж) (x2 + y)dx – xdy = 0;

г) x2y¢2 –2(xy - 2)y¢ + y2 = 0; з) y = y¢(1 + y¢Cosy¢).

§9. УРАВНЕНИЯ, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА

// '); // --> Оцени дизайн футболки и купи ее.

 1. Если дифференциальное уравнение имеет вид F(y, y¢, y¢¢,… …, y(n)) = 0, т. е. не содержит явно независимой переменной, то порядок уравнения можно понизить с помощью замены у¢ = р. Тогда р = р(у) будет новой искомой функцией, а у – новой независимой переменной. Порядок уравнения при этом понижается на единицу:

,

и т. д.

 2. Если дифференциальное уравнение не содержит у и нескольких последовательных производных, то понизить порядок уравнения можно с помощью замены у(k) = u, где u – новая неизвестная функция.

 3. Если уравнение однородно относительно у и производных, то постановка у¢ = уz, где z(x) – новая независимая функция, понижает порядок на единицу.

Задача 14.

 Решить уравнение yy¢¢ + y¢2 = 0.

 Решение. В уравнении отсутствует х. После замены у¢ = р получим уравнение ур¢р + р2 = 0 => yp¢ + p = 0. Отсюда и, следовательно, . Возвращаясь к у¢, получим  или ydy = C1dx. Общее решение этого уравнения будет иметь вид y2 = C1x + C2.

 Замечание. В процессе решения пришлось делить обе части уравнения на р и на у. При этом могло быть потеряно решение, соответствующее р = 0, т. е. у = С и решение у = 0. Этого не произошло только потому, что оба решения содержатся в общем решении: первое при С1 = 0, второе – при С1 = С1 = 0.

  // '); // --> Новый почтовик. Выгодные условия для рекламодателей.

Задача 15.

 Решить уравнение y¢¢2 = y¢ + 1.

 Решение. В данном уравнении отсутствует у. Обозначим

z = y¢, тогда для функции z(x) получим уравнение z¢ = z + 1 с разделяющимися переменными

Отсюда получим