Решения олимпиадных заданий по физике и математике

Решения олимпиадных заданий по физике и математике.

Задача №1

Пробковый шарик удерживают на глубине H=1м под поверхностью воды. Когда шарик отпустили, он вынырнул из жидкости и поднялся на высоту h=0,5м над поверхностью. Определить среднюю силу сопротивления воды движению шарика. Сопротивление воздуха не учитывать. Масса шарика m=100г.

Дано:

Сила сопротивления воды движению шарика проявляет себя в том,

что при подъеме шарика совершает работу и тем самым уменьшает

потенциальную энергию шарика. По закону сохранения энергии

, (1)

где Eп1 – потенциальная энергия шарика, когда он находился в воде на глубине H, и обусловленная действием силы Архимеда на проб - ковый шарик; Ac – работа средней силы сопротивления; Eп2 – потенциальная энергия шарика в поле тяготения Земли в момент его подъема на высоту h относительно начального положения шарика на глубине H. Кинетическая энергия шарика на глубине H и на высоте h равна нулю.

, (2)

где FA – сила Архимеда.

Считая силу сопротивления постоянной, можем записать: , (3)

Fc – средняя сила сопротивления воды движению шарика.

. (4)

По закону Архимеда:

, (5)

где - плотность воды, g – ускорение свободного падения, Vш – объем шарика, который, зная массу шарика, находим из определения плотности:

. (6)

Подставим выражение (6) в формулу (5), а затем в (2) и получим:

. (7)

После подстановки (7), (3) и (4) в (1) получим уравнение относительно искомой величины Fc:

. (8)

Решение уравнения имеет вид:

. (9)

Подстановка численных значений физических величин входящих в уравнение (9) дает:

Н

Задача №2

Во сколько раз КПД цикла 1-2-4-1 больше КПД цикла 2-3-5-2 (рис.)? Рабочее тело – идеальный одноатомный газ.

Дано:

i = 3 Коэффициент полезного действия (КПД) цикла определяется выражением:

. (1)

где Qн – количество теплоты, полученное тепловой машиной от нагревателя за цикл, Qх – количество теплоты, отданное тепловой машиной холодильнику за цикл. По закону сохранения энергии , где A - работа, совершенная тепловой машиной за цикл. Работа тепловой машины за цикл равна площади геометрической фигуры, ограниченной контуром цикла на диаграмме P – V. Поэтому для цикла в виде прямоугольного треугольника 1-2-4-1 работа равна:

. (2)

Аналогично для цикла 2-3-5-2 работа равна:

. (3)

В цикле 1-2-4-1 газ получает теплоту и нагревается в процессе 1→ 2. В процессе 2→ 4 он охлаждается, не совершая работы (2Vo=const). В процессе 4→ 1 газ охлаждается и сжимается (т. е. работа отрицательная). Поэтому газ получает теплоту только в процессе 1→ 2. Чтобы найти количество теплоты Qн, полученное тепловой машиной за цикл, воспользуемся первым началом термодинамики:

, (4)

где - изменение внутренней энергии газа, при его нагревании, - работа газа при его нагревании. Внутренняя энергия газа определяется выражением:

, (5)

где - число степеней свободы молекул газа (для одноатомного газа оно равно 3), - универсальная газовая постоянная, - термодинамическая температура.

Тогда изменение внутренней энергии будет равно:

. (6)

Используя формулу Менделеева-Клапейрона уравнение (6) можно переписать: . (7)

Работа газа в процессе его расширения 1→ 2 определяется как площадь под отрезком [1,2] (площадь трапеции с основаниями Po и 2Po, а высотой 2Vo-Vo).

(7)

Подставляя (6) и (7) в уравнение (4), получаем:

(8)

И, таким образом, по формуле (1) получаем КПД цикла 1-2-4-1:

. (9)

Изменение внутренней энергии в процессе получения газом теплоты 2 → 3 в цикле 2-3-5-2 равно:

(10)

Работа газа при расширении 2 → 3 равна:

(11)

Подставив уравнения (10) и (11) в (4), найдем количество теплоты, полученное газом в цикле 2-3-5-2:

. (12)

Подставляя (3) и (12) в формулу (1), получаем значение КПД цикла 2-3-5-2:

. (13)

И в заключение из (9) и (13) находим отношение КПД циклов:

Задача №3

Напряженность поля в конденсаторе, встроенном в схему (рис.), E=50В/см. Расстояние между пластинами конденсатора d=0,5мм, площадь пластин S=100см2, сопротивление R=5Ом, внутреннее сопротивление батареи r=0,1Ом. Определить ЭДС батареи, заряд пластин, силу притяжения пластин.

Возможное решение.

В установившемся режиме ток через конденсатор не протекает. По закону Ома для полной цепи:

. (1).

С другой стороны по закону Ома для участка цепи

(2).

Напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе с сопротивлением R.

. (3).

Напряжение на конденсаторе можно найти, воспользовавшись связью между напряжением и напряженностью электрического поля

(4).

Используя соотношения (1), (2), (3) и (4) получим выражение для ЭДС источника:

. (5).

Найдем заряд на конденсаторе:

(6).

Электроемкость плоского конденсатора равна:

(7).

Подставив выражения (4) и (7) в (6) получим:

(8).

Для вычисления силы взаимодействия будем считать, что одна пластина находится, в электрическом поле, создаваемом другой пластиной:

(9),

(поле создаваемое одной пластиной в 2 раза меньше поля конденсатора).

Подставив (8) в (9) найдем выражение для силы:

(10).

Ответ:, ,

Задача №4

С помощью тонкой линзы на экране получено увеличенное изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси линзы. Расстояние между предметом и экраном в 4,5 раза больше фокусного расстояния линзы. С каким увеличением изображается предмет.

Возможное решение.

Пусть F фокусное расстояние линзы, d – расстояние от линзы до предмета, f- расстояние от линзы до изображения. H – высота источника, h – высота изображения.

По условию задачи

(1).

Применим формулу тонкой линзы:

(2).

Используя выражение (1) и (2) получим:

(3).

Выражение (3) преобразуется к квадратному уравнению относительно d:

(4).

Найдем корни уравнения (4):

,

(6),

(7).

Определим увеличение линзы. По определению

(8).

Из подобия треугольников с катетами d и f следует:

(9)

Подставив значения для d и f (f находится из формулы (1)) в формулу (9) получим:

(10),

(11).

Условию задачи удовлетворяет только первый корень (10) уравнения (4).

Ответ: Предмет изображается в линзе с увеличением .

Задача №5

Петя Иванов гулял после школы пять часов. Сначала он шел по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Его скорость была 4 км/ч на горизонтальном пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч – при спуске с горы. Какое расстояние прошел Петя Иванов?

Решение:

Пусть длина горизонтального участка пути км, а наклонного – км.

Тогда ; ; + = 10 весь путь (км).

Ответ: 20.

Задача №6

Решить уравнение .

Решение:

.

.

Пусть = t. Тогда:

= 1 ; .

Проверка:

, , - верно.

Ответ: .

Задача №7

40%-ный раствор серной кислоты разбавили 60%-ным, после чего добавили 5 кг чистой воды и получили раствор 20%-ной концентрации. Если бы вместо чистой воды добавили 5 кг 80%-ного раствора серной кислоты, то получился бы раствор 70%-ной концентрации. Сколько было 40%-ного и 60%-ного раствора серной кислоты?

Решение:

Пусть 40%-го раствора было кг, а 60%-го – кг. Тогда имеем:

Решая эту систему, получим (кг), (кг).

Ответ: 1 кг, 2 кг.

Задача №8

Определить длины сторон прямоугольника наибольшей площади, вписанного в прямоугольную трапецию с длинами оснований 24 см, 8 см и высотой 12 см, так, что две вершины прямоугольника лежат на боковых сторонах, а две другие – на большем основании.

Дано:

- прямоугольная трапеция, см, см, см, - прямоугольник.

Найти: и , при которых будет наибольшей.

Решение:

Пусть , , тогда . Выразим переменную через . Для этого рассмотрим и . Они подобны. Из подобия этих треугольников имеем:

, .

Тогда, , .

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции на заданном отрезке.

. , .

, , .

Таким образом, . Найдем соответствующее значение .

.

Ответ: 9 см, 12 см.