Зачет №4 по теме «Окружность»

Проверка теоретических знаний.

У доски: доказать свойство касательной к окружности, теоремы о вписанном угле, об отрезках пересекающихся хорд, о серединном перпендикуляре к отрезку, об окружностях, вписанной в треугольник и описанной около треугольника.

Класс (фронтальная беседа).

Взаимное расположение прямой и окружности. Определение касательной к окружности и ее свойство. Какой угол называется центральным? Какой угол называется вписанным? Чему равна его градусная мера? Четыре замечательные точки треугольника. Какая окружность называется вписанной? Описанной? Какой многоугольник называется описанным? Вписанным? Каким свойством обладают стороны четырехугольника, описанного около окружности? Каким свойством обладают углы четырехугольника, вписанного в окружность? Сформулируйте теорему об отрезках пересекающихся хорд.

Т-1.Заполните пропуски (многоточия), чтобы получилось верное высказывание.

ВАРИАНТ 1.

1. Точка, равноудаленная от всех точек окружно­сти, называется ее... .

2. Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее....

3. Все радиусы окружности....

4. На рисунке 0(r) - окружность, АВ - каса­тельная к ней; точка В называется....

.

5. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется... к окружности.

6. Угол между касательной к окружности и ра­диусом, проведенным в точку касания, равен....

7. На рисунке АВ — диаметр окружности, С - точка, лежащая на ок­ружности. Треугольник АСВ... (вид треугольни­ка).

8. На рисунке АВ = 2ВС, АВ - диаметр окружности. Угол CAB равен....

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

9.На рисунке хорды АВ и CD пересекаются в точке М. Угол ACD ра­вен углу....

10.На рисунке О - центр окружности. Дуга АmВ равна 120°. Угол АВС равен.

11.На рисунке АК = 24 см, KB = 9 см, CK = 12 см. Тогда KD = ...

.

12*. На рисунке АВ = ВС = 13 см, высота BD = 12 см. Тогда ВК = ... , КС = ... .

ВАРИАНТ 2.

1. Геометрическая фигура, все точки которой рас­положены на одинаковом расстоянии от заданной точки, называется....

2. Хорда, проходящая через центр окружности, называется....

3. Все диаметры окружности....

4. На рисунке 0(г) - окружность, В - точка касания прямой АВ и окружности. Прямая АВ называется... к окруж­ности.

5. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется... окружности.

6. Касательная к окружности и радиус, прове­денный в точку касания, ....

7. На рисунке АВ - касательная, ОА - секу­щая, проходящая через центр окружности. Тре­угольник ОВА... (вид треугольника).

8. На рисунке ОС = СА, АВ - касательная к окружности с центром О. Угол ВАС равен....

9. Хорды АВ и CD окружности пересекают­ся в точке К. Угол ADC равен углу....

10. На рисунке О - центр окружности, угол СВА равен 40°. Дуга СmВ равна....

11. На рисунке AM = 15 см, MB = 4 см, MC = 3 см. Тогда DM = ... .

12*. На рисунке АВ = ВС, BD - высота треугольника АВС, ВК = 8 см, КС = 5 см. Тогда BD= ..., DC = ... .

Т-2.Установите, истинны или ложно следующие высказывания.

ВАРИАНТ 1.

1. Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к этой окруж­ности.

2. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

3. На рисунке изображена окружность. Тогда Ð DAC = Ð DВС.

4. Всякая прямая, проходящая через середину хорды окружности, перпендикулярна к ней.

5. Луч касается окружности, если он имеет с ней только одну общую точку.

6. На рисунке АВ - диаметр окружности, Ð 1 = 30°. Тогда Ð 2 = 60°.

7. На рисунке изображена окружность. Тогда Ð DAB = Ð DOB.

8. На рисунке О - центр окружности. Если ÈВС = 60°, то Ð СВА = 60°.

9. На рисунке диаметр АВ окружности равен 10 см, хорда АС = 8 см. Тогда площадь треугольни­ка АВС равна 24 см2.

10. Две хорды окружности АВ и CD пересекают­ся в точке О так, что АО = 16 см, ВО = 9 см, OD = 24 см. Тогда СО = 6 см.

11*. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторо­ну на отрезки 5 см и 8 см, считая от основания. Тог­да площадь треугольника равна 60 см2.

ВАРИАНТ 2.

1. Прямая, расстояние до которой от центра ок­ружности равно радиусу этой окружности, является касательной к ней.

2. Радиус, проведенный в точку касания прямой и окружности, перпендикулярен этой прямой.

3. На рисунке изображена окружность. Тогда Ð DAC = Ð DBC.

4. Прямая, перпендикулярная хорде окружнос­ти, делит эту хорду пополам.

5. Отрезок касается окружности, если он имеет с ней только одну общую точку.

6. На рисунке АВ - диаметр окружности. Тогда если Ð 2 = 50°, то Ð1 = 40°.

7. На рисунке изображена окружность. Тогда Ð АВС = ÐАОС.

8. На рисунке О - центр окружности. Тогда если ÐCAB - 60°, то È AC = 60°.

9. На рисунке диаметр BD окружности равен 13 см. Тогда если хорда ВС = 5 см, то площадь тре­угольника CBD равна 30 см2.

10. Две хорды окружности АВ и CD пересекают­ся в точке М так, что MB = 3 см, МА = 28 см, СМ = 21 см. Тогда MD = 4 см.

11*. Точка касания окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, делит боковую сторо­ну на отрезки 4 см и 6 см, считая от вершины. Тог­да площадь этого треугольника равна 48 см2.

Т-3.В каждом задании установите верный ответ из числа предложенных.

ВАРИАНТ 1.

1.На рисунке дуга АС равна 84°. Чему равен угол АВС, опирающий­ся на эту дугу?

А) 84°; Б) 42°; В) не знаю.

2. На рисунке угол МРК равен 88°. Чему равна дуга МК, на кото­рую опирается угол МРК?

А) 88°; Б) 176°; В) не знаю.

3. Из точки А, находящейся на расстоянии двух радиусов от цент­ра окружности, проведена касатель­ная АВ. Чему равен угол ОАВ?

А) 60°; Б) 30°; В) не знаю.

4. Из точки М окружности про­ведены две хорды МА и MB. Хор­да МА стягивает дугу, равную 80°, а угол АМВ равен 70°. Определите дугу, стягиваемую хордой MB.

А) 210°; Б) 140°; В) не знаю.

5. На рисунке диаметр АВ ок­ружности равен 10 см, хорда ВС = 6 см. Найдите площадь треуголь­ника АСВ.

А) 30 см2; Б) 24 см2; В) не знаю.

6. Из точки К окружности с цен­тром О проведены две взаимно пер­пендикулярные хорды КМ и KD. Расстояние от точки О до хорды КМ равно 15 см, а до хорды KD равно 20 см. Каковы длины хорд КМ и KD7

A)   30 см и 40 см; Б) 15 см и 20 см; B) не знаю.

7. Две хорды АВ и CD точкой О их пересечения делятся так, что АО = 9 см, OB = 6 см, СО = 3 см. Какова длина отрезка OD7

А) 12 см; Б) 18 см; В) не знаю.

8. Из точки А к окружности проведены касательная АВ и секу­щая АС, проходящая через центр окружности. Расстояние от А до окружности равно 4 см, а диаметр окружности равен 12 см. Какова длина касательной?

А) 8 см; Б) 6 см; В) не знаю.

9*. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5 см в точке А. Найдите расстояние от точки В до окружности, если длина касательной рав­на 12 см.

А) 7 см; Б) 8 см; В) не знаю.

ВАРИАНТ 2.

1. На рисунке дуга АВ равна 164°. Чему равен угол АСВ, опира­ющийся на эту дугу?

А) 168°; Б) 82°; В) не знаю.

2. На рисунке угол АВС равен 44°. Чему равна дуга АС, на кото­рую опирается угол АВС?

А) 88°; Б) 44°; В) не знаю.

3. Из точки М, находящейся на расстоянии двух радиусов от цент­ра окружности, проведена касатель­ная МК. Чему равен угол КОМ?

А) 60°; Б) 30°; В) не знаю.

4. Из точки А окружности про­ведены две хорды AM и АВ. Хорда AM стягивает дугу, равную 120°, а угол МАВ равен 80°. Определите величину дуги, стягиваемую хор­дой АВ.

А) 80°; Б) 120°; В) не знаю.

5. На рисунке диаметр АС ок­ружности равен 13 см, хорда AB = 12 см. Найдите площадь треу­гольника АСВ.

А) 78 см2; Б) 30 см2; В) не знаю.

6. Из точки А окружности с цен­тром О проведены две взаимно пер­пендикулярные хорды АВ и АС. Расстояние от точки О до хорды АВ равно 40 см, а до хорды АС равно 25 см. Каковы длины хорд АВ и АС?

A) 25 см и 40 см; Б) 50 см и 80 см; B) не знаю.

7. Две хорды МК и CD точкой Р их пересечения делятся так, что МР = 8 см, PC = 4 см. КР = 16 см. Какова длина отрезка PD.

А) 24 см; Б) 32 см; В) не знаю.

8. Из точки М к окружности проведены касательная МА и секу­щая МС, проходящая через центр окружности О. Расстояние от М до центра О равно 20 см, радиус ок­ружности равен 12 см. Чему равна длина касательной?

А) 16 см; Б) 24 см; В) не знаю.

9*. Прямая АВ касается окружности с центром О и радиусом 5 см в точке В. Найдите длину касатель­ной, если расстояние от точки А до окружности рав­но 8 см.

А) 13 см; Б) 12 см; В) не знаю.

Карточки для индивидуальной работы.

Карточка 1.

1. Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность? Сформулируйте свойство и признак касательной.

2. Отрезок BD — высота равнобедренного треугольника AВС с основанием АС. На какие части окружность с центром В и ра­диусом BD делит боковую сторону треугольника если АВ= см, BD=5 см?

3. На рисунке изображен прямоугольный треугольник AВС, стороны которого касаются окружности радиуса 1 см. На какие отрезки точка касания делит гипотенузу треугольника, равную 5 см?

Карточка 2.

1. Какой угол называется вписанным? Сформулируйте теоре­му о вписанном угле.

2. Вершины треугольника со сторонами 2 см, 5 см и 6 см ле­жат на окружности. Докажите, что ни одна из сторон треуголь­ника не является диаметром этой окружности.

3. На рисунке изображена окружность с центром О, АВ - касательная, а АС - секущая этой окружности. Найдите углы треугольника АВС, если ÈBD=62°.

Карточка 3.

1. Сформулируйте теорему об отрезках пересекающихся хорд.

2. Хорды KL и MN окружности пересекаются в точке А. Найдите АК и AL, если АМ=2 дм, AN=6 дм, KL=7 дм.

3. На рисунке изображена окружность с центром О, АС — диа­метр, а ВС — касательная к этой окружности. На какие части от­резок АВ делится точкой D, если АС=20 см, ВС=15 см?

Карточка 4.

1. Сформулируйте теорему об окружности, вписанной в тре­угольник.

2. Впишите окружность в данный прямоугольный тре­угольник.

3. Основание равнобедренного треугольника равно 16 см, бо­ковая сторона равна 17 см. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности.

Карточка 5.

1. Сформулируйте утверждение о свойстве описанного четы­рехугольника. Верно ли обратное утверждение?

2. Найдите площадь прямоугольной трапеции, описанной около окружности, если боковые стороны этой трапеции равны 10 см и 16 см.

3. Площадь четырехугольника ABCD, описанного около окружности радиуса 5 дм, равна 90. Найдите стороны СD и AD этого четырехугольника, если AB=9 дм, ВС=10 дм.

Карточка 6.

1. Сформулируйте теорему об окружности, описанной около треугольника.

2. Постройте окружность, описанную около данного тупо угольного треугольника.

3. Найдите площадь равностороннего треугольника, вписан­ного в окружность радиуса 4 см.

Карточка 7.

1.Сформулируйте утверждение о свойстве вписанного четырехугольника. Верно ли обратное утверждение?

2. Площадь прямоугольника, вписанного в окружность, рав­на 48 см2. Найдите радиус окружности, если одна из сторон прямоугольника на 2 см больше другой.

3. На рисунке АМ и СМ — биссект­рисы углов А и С треугольника АВС, AN и CN — биссектрисы внешних углов при вер­шинах A и С этого треугольника. Докажите, что около четырехугольника AMCN можно описать окружность.

Кроссворд.

5

1

4

2

7

6

3

По горизонтали: 1. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки. 2. Отображение плоскости на себя. 3. Удвоенный радиус.

По вертикали: 4. Единица измерения угла или 1/60 минуты. 5. Часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой окружности круга. 6. Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности. 7. Определение точки окружности.

Примечание: в разработке использованы материалы из газеты «Математика».