Третий этап Всеукраинской олимпиады юных математиков.
Харьковская область, 26 января 2003 г.
1. Является ли число 20032003+5 квадратом натурального числа? Ответ oбоснуйте. (7 баллов)
2. Миллион троллейбусных талонов пронумерован стандартным способом: 000000, 000001, ¼, 999999. Назовем талон счастливым, если с помощью всех цифр его номера (каждая цифра должна использоваться ровно столько раз, сколько раз она встречается в записи этого номера), скобок и знаков арифметических действий +, -, × (не все эти знаки обязательно использовать) можно получить арифметическое выражение, значение которого равняется нулю. Сколько талонов не являются счастливыми? Ответ обоснуйте. (8 баллов)
3. Можно ли правильный шестиугольник со стороной 2003 см разбить на четырехугольники, составленные из трех равносторонних треугольников со стороной 1 см (как изображено на рисунке)? Ответ обоснуйте. (9 баллов)
1
1 1
1 1
4. В каждой клетке доски 2003×2003 сидит по одному муравью. Назовем расстоянием между двумя клетками длину кратчайшей из ломаных, которые соединяют центры этих клеток таким образом, что каждое их звено параллельно одной из сторон доски. В начальный момент времени муравьи начинают переползать из клетки в клетку, причем нескольким муравьям разрешается одновременно находиться в одной клетке. В некоторый момент оказалось, что для любых двух муравьев расстояние между клетками, в которых они сидят, равняется расстоянию между клетками, в которых эти муравьи сидели вначале (считаем, что каждый муравей “целиком” сидит в соответствующей клетке). Докажите, что в этот момент времени хотя бы один муравей находится в той же самой клетке, в которой он находился первоначально. (10 баллов)
5. Можно ли таблицу 2003 ×2003 так заполнить всеми натуральными числами от 1 до 20032 (в каждую клетку записывается только одно число, причем каждое число используется только один раз), чтобы все суммы чисел в каждой строке и каждом столбце (всего 2 ·2003 сумм) оказались попарно различными и кратными 2003? Ответ обоснуйте. (11 баллов)
1. Величины углов некоторого треугольника (в градусах) выражаются натуральными числами. Каждое из этих трех чисел запишем в десятичной системе счисления (первая слева цифра не может быть нулем), а затем переставим все его цифры в обратном порядке. Может ли оказаться, что три полученных таким образом числа являются величинами углов (в градусах) некоторого другого треугольника, у которого величина хотя бы одного угла не совпадает ни с одной из величин углов исходного треугольника? Ответ обоснуйте. (7 баллов)
2. В треугольнике ABC на стороне BC выбрана такая точка K, что отрезок AK пересекает медиану BM в точке N, причем AN = BC. Докажите, что BK = KN. (8 баллов)
3. Разрядным минимумом двух натуральных чисел A и B назовем такое целое неотрицательное число Rmin(A, B), каждая десятичная цифра которого совпадает с наименьшей из цифр A и B, расположенных в этом же разряде (числа рассматриваются в десятичной записи; вместо тех цифр, которых не хватает слева, записываем нули). Аналогично определяется разрядный максимум, а именно, разрядным максимумом двух натуральных чисел A и B назовем такое целое неотрицательное число Rmax(A, B), каждая десятичная цифра которого совпадает с наибольшей из цифр A и B, расположенных в этом же разряде. Например, Rmin(1357,854)=354. Докажите, что для любых натуральных чисел A и B справедливо неравенство Rmin(A, B) ·Rmax(A, B) £ A ·B. (9 баллов)
4. Можно ли разбить 4006 клеток клетчатого прямоугольника 2 × 2003 на пары таким образом, чтобы все расстояния между центрами клеток, образующих пару, были попарно различны? Ответ обоснуйте. (9 баллов)
5. Над натуральным числом N разрешается выполнить следующую операцию: заменить его или на число 2N+1, или на любой натуральный делитель числа N. Докажите, что из любого натурального числа M после нескольких таких операций можно получить любое нечетное натуральное число K. (12 баллов)
1. Все страницы книги пронумерованы стандартным способом последовательными натуральными числами от 1 до N (N может быть как четным числом, так и нечетным). Когда для каждой страницы подсчитали произведение цифр, использованных для ее нумерации, оказалось, что для некоторых 100 страниц эти произведения равны между собой. При каком наименьшем значении N это возможно? Ответ обоснуйте. (7 баллов)
2. Имеет ли система уравнений
ì | (a+b)(a+c)(a+d) | = | 2, |
(b+a)(b+c)(b+d) | = | 0, | |
(c+a)(c+b)(c+d) | = | 0, | |
(d+a)(d+b)(d+c) | = | 3 |
решение в целых числах? Ответ обоснуйте. (8 баллов)
3. В описанном четырехугольнике ABCD продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке E, а продолжения сторон AD и BC пересекаются в точке F. Известно, что ÐAED=ÐCFD. Докажите, что точки, в которых вписанная окружность касается сторон четырехугольника ABCD, являются вершинами равнобокой трапеции. (8 баллов)
4. Докажите, что наибольшее значение k, при котором для произвольного треугольника с длинами сторон a, b и c из отрезков с длинами ka2 + bc, kb2 + ca и kc2 + ab также можно составить треугольник, равно 3/2. (10 баллов)
5. Проволочный отрезок длины 2003 разбит на 2003 единичных отрезка. На проволоке находятся 2003 муравья. В начальный момент времени все эти муравьи сидят по одному в центре каждого единичного отрезка. Затем они начинают произвольно переползать из отрезка в отрезок (возможно, что какие-то муравьи вообще не переползают). В некоторый момент времени оказалось, что все 2003 муравья опять сидят по одному в центре каждого единичного отрезка. Может ли в этот момент времени расстояние между любыми двумя различными муравьями отличаться от расстояния между этими же муравьями в начальный момент времени? Ответ обоснуйте. (12 баллов)
1. В некотором параллелограмме отношение длин диагоналей равняется отношению длин его соседних сторон. Докажите, что из сторон и диагоналей двух таких равных параллелограммов (всего – 12 отрезков) можно сложить два квадрата так, чтобы эти 12 отрезков были их сторонами и диагоналями. (7 баллов)
2. Решите систему уравнений
ì | (x1 - x2) | x3 | = | x2 - x3, |
(x2 - x3) | x4 | = | x3 - x4, | |
¼ | ¼ | |||
(x2001 - x2002) | x2003 | = | x2002 - x2003, | |
(x2002 - x2003) | x1 | = | x2003 - x1 |
в положительных числах. (8 баллов)
3. Проволочный отрезок длины 2003 разделен на 2003 единичных отрезка. На проволоке находятся 2003 муравья. В начальный момент времени все эти муравьи сидят по одному в центре каждого единичного отрезка. Затем они начинают переползать из отрезка в отрезок, причем каждый муравей ползет постоянно в каком-либо одном направлении (то есть не разворачивается), возможно, какие-то муравьи вообще не переползают. В некоторый момент времени оказалось, что все 2003 муравья опять сидят по одному в центре каждого единичного отрезка. Докажите, что найдутся какие-нибудь два муравья, которые к этому моменту проползли одинаковые расстояния. (8 баллов)
4. Докажите, что для произвольных положительных чисел a, b и c справедливо неравенство
3 (a4 + b4 + c4) + 2abc(a + b + c) ³ 5 (a2b2 + b2c2 + c2a2). | (11 баллов) |
5. Куб размером 2003 ×2003 ×2003 составлен из кубиков размером 1 ×1 ×1. Докажите, что такой куб можно заполнить всеми натуральными числами от 1 до 20033 (в каждый единичный кубик записывается только одно число, причем каждое число используется только один раз) так, чтобы суммы чисел во всех параллелепипедах размером 1×1×2003 в любой ориентации (всего 3·20032 сумм) оказались одинаковыми. (11 баллов)
1. Клетчатая прямоугольная сетка M × N связана из верёвочек единичной длины. Двое играют в следующую игру, делая ходы по очереди. Игрок, чья очередь делать ход, разрезает (точно посередине) не разрезанную ранее “единичную” верёвочку. Игра заканчивается, когда не останется ни одного замкнутого верёвочного контура (цикла), и игрок, сделавший последний ход, считается проигравшим. Найдите все значения M и N, при которых игрок, делающий первый ход, может обеспечить себе победу независимо от ходов соперника. Ответ обоснуйте. (7 баллов)
2. Рассмотрим правильный треугольник ABC. Найдите геометрическое место всех таких точек D пространства, что из ребер AD, BD и CD пирамиды ABCD можно составить прямоугольный треугольник. Ответ обоснуйте. (8 баллов)
3. Найдите все функции f, которые определены на всей действительной оси, принимают действительные значения и удовлетворяют одновременно двум таким условиям:
а) f ( f (x) + y ) = f(y) + x для любых действительных x и y;
б) множество решений уравнения f(x) = x не является бесконечным.
Ответ обоснуйте. (10 баллов)
4. Докажите, что площадь треугольника со сторонами a, b и c не превосходит
__ | (ab + bc + ca). (10 баллов) | |
Ö3 | ||
–– | ||
12 |
5. Докажите, что все клетки бесконечной во все стороны клетчатой доски можно покрасить в 2003 различных цвета (каждая клетка красится целиком в один из цветов) таким образом, чтобы в каждый из 2003 цветов было покрашено бесконечно много клеток, чтобы в каждой бесконечной “строке” и в каждом бесконечном “столбце” встречались клетки хотя бы двух различных цветов, и кроме того, чтобы любые четыре клетки, являющиеся угловыми клетками какого-то “клетчатого” квадрата, были покрашены не более чем в два различных цвета. (10 баллов)
