Математика (стр. 3 )

8.1.2.  Скорость роста банковского вклада пропорциональна с коэффициентом равным величине вклада. Найти закон изменения величины вклада со временем, если первоначальная сумма вклада составляла миллионов рублей.

  8.2.  Линейные уравнения высших порядков.

8.2.1.  Решить задачу Коши:

а)

б) .

  8.3.  Системы линейных уравнений.

8.3.1.  Решить систему линейных уравнений

с начальными условиями .

9. Ряды

  9.1.  Числовые ряды.

9.1.1.  Исследовать на сходимость ряды с положительными членами:

а) ; б) ;

в) ; г) .

9.1.2.  Исследовать на условную сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды:

а) ; б) .

  9.2.  Степенные ряды.

9.2.1.  Найти область сходимости степенного ряда:

а) ; б) .

9.2.2.  Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х0:

а) ; б) .

9.2.3.  С помощью разложения в ряд вычислить приближенно с точностью 0,001 значения:

а) ; б) .

  9.3.  Ряды Фурье.

9.3.1.  Разложить функцию в ряд Фурье в указанном интервале:

а)

в интервале ;

б) в интервале .

в) в интервале .

10. Функции комплексного переменного

  10.1.  Действия с комплексными числами.

10.1.1. Выполнить действия:

а) ; б) .

10.1.2. Решить уравнения:

а) ; б) .

  10.2.  Аналитические функции.

10.2.1. Показать, что функция аналитична.

10.2.2. Известна вещественная часть u(x,y)=m(x2-y2)+mx-ny аналитической функции f(z), (z=x+iy). Найти функцию f(z).

  10.3.  Интегрирование функций комплексного переменного.

10.3.1. Вычислить , где контур С – незамкнутая ломанная, соединяющая точки , и .

10.3.2. Вычислить с помощью интегральной формулы Коши

.

  10.4.  Ряды Тейлора и Лорана.

10.4.1. Разложить функцию в окрестности точки в ряд Тейлора и найти радиус сходимости ряда.

10.4.2. Разложить функцию в окрестности точки в ряд Лорана.

10.4.3. Разложить функцию в ряд Лорана по степеням и найти область сходимости ряда.

  10.5.  Вычеты и их приложения.

10.5.1. Определить тип особых точек функции и найти вычеты в конечных особых точках.

10.5.2. Вычислить с помощью вычетов , где контур C, заданный уравнением , обходится против часовой стрелки.

11. Операционное исчисление

  11.1.  Нахождение изображений и восстановление оригиналов.

11.1.1. Найти изображения функций:

а) ; б) .

11.1.2. Восстановить оригиналы по изображениям:

а) ; б) .

  11.2.  Приложения операционного исчисления.

11.2.1. Решить операционным методом дифференциальное уравнение:

а) ;

б) .

12. теория вероятностей

  12.1.  Случайные события.

12.1.1.  В коробке находятся m+2 синих, n+3 красных и 2n+1 зеленых карандашей. Одновременно вынимают m+3n+2 карандашей. Найти вероятность того, что среди них будет m+1 синих и n+1 красных.

12.1.2.  В первой урне находятся m+2 шаров белого и n шаров черного цвета, во второй — m+n белого и m синего, в третьей — n+3 белого и m+1 красного цвета. Из первой и второй урны наудачу извлекают по одному шару и кладут в третью. После этого из третьей вынимают один шар. Найти вероятность того, что он окажется белым.

12.1.3.  Вероятность попадания стрелка в мишень при одном выстреле равна . Производится n+4 выстрела. Найти вероятность того, что он промахнется не более двух раз.

12.1.4.  Каждый избиратель независимо от остальных избирателей, отдаёт свой голос за кандидата А с вероятностью 0,1(m+n) и за кандидата В – с вероятностью 1-0,1(m+n). Оценить вероятность того, что в результате голосования на избирательном участке (5000 избирателей) один из кандидатов опередит другого:
а) ровно на 1900 голосов
б) не менее, чем на 1900 голосов

  12.2.  Случайные величины.

12.2.1.  Случайная величина Х равна числу появлений «герба» в серии из n+3 бросаний монеты. Найти закон распределения и функцию распределения F(x) этой случайной величины; вычислить ее математическое ожидание MX и дисперсию DX; построить график F(x).

12.2.2.  Закон распределения дискретной случайной величины X имеет вид:

xi	-2	-1	0	m	m+n
pi	0,2	0,1	0,2	p4	p5

Найти вероятности p4, p5, и дисперсию DX, если математическое ожидание MX=-0,5+0,5m+0,1n.

12.2.3.  Плотность распределения непрерывной случайной величины X имеет вид: