1. В квадрате 7×7 закрашено несколько клеток. Если закрасить ещё одну клетку, найдётся ряд (строка или столбец), в котором закрашено не менее четырёх клеток. Может ли быть так, что число закрашенных клеток меньше 20? (Жюри)
2. В каждую клетку квадрата 2×2 вставлено по числу. Все числа попарно различны, сумма чисел в первой строке равна сумме чисел во второй строке, а произведение чисел в первом столбце равно произведению чисел во втором столбце. Найдите сумму всех четырёх чисел.
А. Штерн
3. Длины всех сторон двух прямоугольных треугольников выражаются целым числом сантиметров. Может ли произведение этих шести чисел заканчиваться на 2014? (А. Штерн)
4. Угол B треугольника ABC составляет 45 градусов. Внутри треугольника выбрана точка P так, что BP=6 см и ÐBAP=ÐBCP=45°. Найдите площадь четырёхугольника BAPC.
Болгарские олимпиады
5. Имеется 100 мешков, в каждый из которых должны были положить золотой слиток. Но часть слитков украли, поэтому в каждый мешок положили либо слиток, либо три других мешка (возможно, содержащих слиток или другие мешки). Какое наибольшее число слитков могло быть украдено? (С. Усов)
6. У натурального числа N выписали в ряд по возрастанию все собственные делители (собственный делитель натурального числа – это делитель, отличный от 1 и самого этого числа). Оказалось, что в этом ряду простые и составные числа чередуются. Сколько собственных делителей имеет число N? (А. Штерн)
www. ashap. info/Turniry/Kukin/index. html
