Научно-методическое учреждение
«Национальный институт образования»
Министерства образования Республики Беларусь
Учебная программа
факультативных занятий
«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
В СИСТЕМЕ MAPLE»
по учебным предметам «Информатика» и «Математика»
VIII – X классы
Минск
Авторы-составители:
, доцент, доктор педагогических наук, профессор кафедры математической кибернетики БГУ;
, старший преподаватель кафедры информатики и методики преподавания информатики БГПУ им. М. Танка.
Предлагаемый курс факультативных занятий направлен на обучение учащихся методам исследования реальной действительности путем построения и анализа математических моделей. Программа расширяет и углубляет знания учащихся в области моделирования, основ алгоритмизации и программирования. Факультативные занятия планируются для учащихся 8-10 классов учреждений общего среднего образования.
Факультативные занятия рассчитаны на работу в течение трех лет по 1 часу в неделю. В случае необходимости учитель может проводить факультативные занятия в течение двух лет или года, выбрав для этого подходящие темы. Порядок изучения тем учитель может изменить в соответствии с подготовленностью учащихся.
Пояснительная записка
В последние годы выросло значение математического и компьютерного моделирования практически во всех науках. Не случайно Совет Министров Республики Беларусь назвал в качестве одного из приоритетных направлений фундаментальных научных направлений «математические модели и их применение к анализу систем и процессов в природе и обществе». Однако в учреждениях общего среднего образования моделирование изучается в небольшом объеме. В учебном предмете «Математика» моделирование встречается лишь при решении текстовых задач. Предлагаемый факультатив поможет подготовить учащихся к изучению в вузах предметов, связанных с математическим моделированием и программированием.
Факультатив одновременно является факультативом и по математике, и по информатике. Учебная программа занятий соответствует содержательным линиям «Основы алгоритмизации и программирования» учебного предмета «Информатика» и «Числа и вычисления» учебного предмета «Математика». Отбор содержания программы соответствует тематике распространенных математических моделей.
Программа факультатива расширяет и углубляет знания и умения учащихся в области теории построения математических моделей и имеет алгоритмическую направленность. При работе по данной программе учащиеся знакомятся с технологиями компьютерных символьных преобразований и вычислений с применением системы компьютерной алгебры Maple.
Опыт исследовательской работы, приобретенной учащимися при решении задач на моделирование, будет способствовать успешному решению задач повышенной сложности по математике и информатике, в частности олимпиадных задач. Этот опыт будет полезным при получении ими в дальнейшем математического, естественнонаучного, технического, экономического образования.
Цели и задачи факультативных занятий
Целью факультативных занятий является формирование у учащихся основ научного мировоззрения, системно-информационного взгляда на мир, включающего абстрагирование, моделирование, алгоритмическое мышление, а также углубленное изучение многих важнейших понятий математики и информатики, способствующее подготовке их к получению профессий, связанных с информатикой, компьютерным моделированием инженерных, экономических и других прикладных задач.
Задачи занятий:
- развивать интерес учащихся к изучению математики и информатики;
- развивать логическое и алгоритмическое мышление учащихся;
- ознакомить учащихся с пользовательским интерфейсом системы компьютерной алгебры Maple, сформировать навыки рациональной работы с ее инструментарием, необходимым для изучения, визуализации и решения математических задач;
- освоить основные приемы аналитических (символьных) преобразований и вычислений в Maple.
- ознакомить учащихся с методами построения математических моделей;
- формировать основы рационального подхода к исследованию реальной действительности путем анализа известных математических моделей, ее описывающих.
Отбор содержания программы соответствует тематике распространенных математических моделей.
Рекомендуемые формы и методы проведения занятий
Результат решения задач предлагаемого курса во многом зависит от организации учебного процесса. Обучение предполагает, прежде всего, наполнение учебного материала заданиями различного уровня сложности. Одни из них служат для закрепления пройденного материала, в других предлагаются ситуации, немного отличающиеся от ранее рассмотренных.
В учебном процессе должно быть уделено особое внимание самостоятельной работе учащихся – самостоятельному решению заданий, проработке дополнительного учебного материала, построению моделей и реализации их исследованию в конкретной среде программирования.
Ожидаемые результаты
После успешного прохождения учебного материала учащиеся получат представление:
- о математическом моделировании;
- о разнообразии задач, решаемых методами математического моделирования;
- о приемах построения математических моделей;
- о методах исследования математических моделей;
- о системе компьютерной алгебры Maple для выполнения технических расчетов и исследовательской работы;
Изучение данного курса предполагает:
- развитие познавательных способностей школьников;
- формирование у них алгоритмического мышления;
- получение реального опыта творческой и исследовательской деятельности;
- повышение интереса учащихся к математике, информатике и программированию.
Содержание
(105 часов).
8 класс (35 часов).
1. Основы работы в среде системы Maple (8 часов). Пользовательский интерфейс системы Maple. Действия с числами, вывод результатов вычислений. Присваивание значений переменным. Наибольший общий делитель. Действия с рациональными дробями. Разложение чисел на простые множители. Упрощение алгебраических выражений. Вычисления с большими числами.
2. Исследование функций и построение графиков (8 часов). Построение графиков функций 
, 
, 
, 
в Maple. Совмещение нескольких графиков на одном рисунке. Нули простейших функций и их изображение на графике. Линейная 
и квадратичная 
функции и их графики. Формулы корней квадратного уравнения. Использование уравнений, сводящихся к квадратным, при решении задач.
Изображение на графике набора точек по их координатам. Использование переменных с индексами для задания координат точек.
Соотношения между сторонами и углами треугольника. Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x и их графики в Maple.
3. Решение уравнений и неравенств (10 часов). Аналитическое решение линейных уравнений, неравенств и их систем. Нахождение приближенного значения корня уравнения 
с помощью встроенной функции Maple. Решение задач с использованием нелинейных уравнений. Графическая иллюстрация получаемых решений в Maple. Наибольшее и наименьшее значения функции. Уравнение окружности. Аналитическое решение системы двух (не обязательно линейных) уравнений. Графическая иллюстрация получаемых решений.
4. Треугольники и многоугольники (9 часов). Изображение отдельных точек, отрезков и многоугольников с помощью встроенных функций Maple. Замечательные точки в треугольнике (точки пересечения медиан, биссектрис, высот и срединных перпендикуляров) и их изображение. Средняя линия треугольника и трапеции. Решение задач с вычислением площадей треугольников, четырехугольников и других многоугольников.
9 класс (35 часов).
1. Введение в моделирование (3 часа). Понятия: «модель», «математическая модель», «математическое моделирование», «компьютерное моделирование».
2. Биологические и экологические модели (12 часов). Модель неограниченного роста численности биологической популяции. Модели ограниченного роста. Модель «жертвы и хищники». Модель эпидемии. Модель самоочищения реки. Модели народонаселения.
3. Прогностические модели (12 часов). Эмпирические формулы. Прогнозирование цены выпускаемого товара.
4. Моделирование случайных процессов (12 часов). Случайные числа. Получение случайных чисел. Метод Монте-Карло вычисления площади криволинейной фигуры. Определение числа π с помощью моделирования бросания иглы. Графическая иллюстрация броуновского движения.
10 класс (35 часов).
1. Задача линейного программирования (10 часов). Постановка задачи линейного программирования (ЗЛП). Графическое решение ЗЛП в Maple. Решение ЗЛП с помощью встроенных функций Maple. Решение ЗЛП методом перебора вариантов. Задача раскроя.
2. Задачи выбора, решаемые полным перебором (9 часов). Задачи целочисленного линейного программирования. Задача о назначении. Генерирование перестановок. Задача коммивояжера.
3. Экстремальные задачи на сетях и графах (6 часов). Поиск кратчайших расстояний между вершинами графа.
4. Задачи динамического программирования (10 часов). Задача об оптимальной траектории. Задача о рюкзаке. Общий подход к решению задач динамического программирования.
Основная литература
для учащихся
1. Мельников, моделирование в системе Maple / , . – Мн.: Национальный институт образования, 2009. – 90 с.
2. Мельников, оптимизационных задач в системе Maple / , . – Мн.: Национальный институт образования, 2010. – 90 с.
для учителей
1. Абрамов, информатики / , . – М.: Наука, 1989. – 256 с.
2. Васильев, А. Н. Maple 8: самоучитель / . – М.: Диалектика, 2003. – 352 с.
3. Говорухин, в Maple. Математический пакет для всех / . – М.: Мир, 1997. – 208 с.
4. Монахов, оптимизации. Применение математических методов в экономике / , , . – М.: Просвещение, 1978. – 175 с.
5. Совертков, компьютерное моделирование в элементарной математике: учеб. пособие / . – М.: Гелиос АРВ, 2004. – 384 с.
Дополнительная литература
1. Быкадоров, : учеб. пособие для 8 – 9 кл. общеобразоват. школ / , . – Мн.: Народная асвета, 2000. – 544 с.
2. Быкадоров, и вычислительная математика: учеб. пособие для 10 – 11 кл. общеобразоват. школ с повышенным уровнем изучения информатики/ , , . – Мн.: Народная асвета, 1997. – 334 с.
3. Калихман, программирование в примерах и задачах / , . – М.: Высшая школа, 1979. – 125 с.
4. Котов алгоритмизации. / , . – Мн.: Народная асвета, 2000. – 220с.
5. Солодовников, в линейную алгебру и линейное программирование / . – М.: Просвещение, 1966. – 184 с.
