Постановка учебных задач, диагностируемых целей
Учебные задачи темы:
1. Формирование представления о числовых последовательностях, о рекуррентном способе задания числовых последовательностей.
2. Формирование представления об арифметической и геометрической прогрессиях как частных случаях числовых последовательностей; изучение их определений и свойств (по аналогии друг с другом).
3. Раскрытие практического значения этих понятий (особенно бесконечно убывающей геометрической прогрессии).
4. Выявление групп взаимосвязанных задач по теме.
Диагностируемые цели темы:
В |
результате изучения темы ученик:
- знает: понятие числовой последовательности; понятие бесконечной числовой последовательности; понятие членов последовательности; два способа задания последовательности (с помощью формулы ее n-ого члена и рекуррентный способ); определение арифметической прогрессии, определение геометрической прогрессии; рекуррентную формулу n-ого члена арифметической прогрессии, рекуррентную формулу n-ого члена геометрической прогрессии; характеристическое свойство арифметической прогрессии и его доказательство; характеристическое свойство геометрической прогрессии и его доказательство; формулу n-ого члена арифметической прогрессии, формулу n-ого члена геометрической прогрессии; формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии и ее доказательство, формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии и ее доказательство; определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии; определение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии; формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
- умеет: формулировать определение рекуррентного способа задания последовательности; формулировать определение арифметической прогрессии, формулировать определение геометрической прогрессии; применять рекуррентную формулу n-ого члена арифметической прогрессии, применять рекуррентную формулу n-ого члена геометрической прогрессии; формулировать, доказывать и применять характеристическое свойство арифметической прогрессии, формулировать, доказывать и применять характеристическое свойство геометрической прогрессии; применять формулу n-ого члена арифметической прогрессии, применять формулу n-ого члена геометрической прогрессии; доказывать и применять формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии, доказывать и применять формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии; формулировать определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии; формулировать определение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии; применять формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.
- понимает: что арифметическая и геометрическая прогрессии являются числовыми последовательностями; взаимосвязь понятий арифметической прогрессии и среднего арифметического, взаимосвязь понятий геометрической прогрессии и среднего геометрического; аналогию определений и свойств арифметической и геометрической прогрессий; что характеристическое свойство арифметической прогрессии является критерием (свойством и признаком), что характеристическое свойство геометрической прогрессии является критерием (свойством и признаком); как были получены формулы n-ого члена арифметической и геометрической прогрессии; практическое значение арифметической, геометрической прогрессий (в особенности бесконечно убывающей геометрической прогрессии).
Подробный конспект урока
Урок-лекция «Арифметическая и геометрическая прогрессия»
Учебник: Алгебра. Учебник для 9 кл. средней школы / под ред. Ш. А. Алимова. – М.: Просвещение, 1998 г, глава V, параграфы §§27-32.
Учебная задача: выявить особый вид числовой последовательности: арифметическую и геометрическую прогрессии, дать им определения, вывести формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий, выявить свойства арифметической и геометрической прогрессии на основе аналогии.
Диагностируемые цели:
В результате урока ученик:
- знает: определение арифметической прогрессии, определение геометрической прогрессии; рекуррентную формулу n-ого члена арифметической прогрессии, рекуррентную формулу n-ого члена геометрической прогрессии; характеристическое свойство арифметической прогрессии и его доказательство; характеристическое свойство геометрической прогрессии и его доказательство; формулу n-ого члена арифметической прогрессии, формулу n-ого члена геометрической прогрессии;
- умеет: формулировать определение арифметической прогрессии, формулировать определение геометрической прогрессии; применять рекуррентную формулу n-ого члена арифметической прогрессии; применять рекуррентную формулу n-ого члена геометрической прогрессии; формулировать и доказывать характеристическое свойство арифметической прогрессии, формулировать и доказывать характеристическое свойство геометрической прогрессии;
- понимает: что арифметическая и геометрическая прогрессии являются числовыми последовательностями; взаимосвязь понятий арифметической прогрессии и среднего арифметического, взаимосвязь понятий геометрической прогрессии и среднего геометрического; аналогию определений и свойств арифметической и геометрической прогрессий; что характеристическое свойство арифметической прогрессии является критерием (свойством и признаком), что характеристическое свойство геометрической прогрессии является критерием (свойством и признаком); как были получены формулы n-ого члена арифметической и геометрической прогрессии.
Методы обучения: укрупнение дидактических единиц, проблемное изложение и репродуктивный.
Средства обучения: мел, доска, тетрадь, ручка, канва-таблица.
Форма работы: фронтальная.
Структура урока:
1. Мотивационно-ориентировочный этап – 10 мин
2. Содержательный этап – 30 мин
3. Рефлексивно-оценочный этап – 5 мин
Ход урока:
Деятельность учителя | Деятельность учащихся | |
I. Мотивационно-ориентировочный этап Актуализация: На доске записаны следующие числовые последовательности: 1. 1, 2, 3, 4, 5,… 2. 3. 4, 9, 16, 25, 36, … 4. 5, 3, 1, -1, -3, … 5. -32, 16, -8, 4, -2, … 6. 7. 0, 0, 0, 0, 0, … 8. 9. 1, 1, 1, 1,… | ||
На прошлом уроке вы изучали тему «Числовая последовательность». Какие способы задания числовой последовательности вы знаете? | Рекуррентный и формулой n-го члена. | |
Какой способ задания последовательности называется рекуррентным? | Рекуррентный – способ задания последовательности, при котором вычисление (n+1)-го члена последовательности производится через предыдущие n членов. | |
На доске записаны числовые последовательности. Запишите для каждой из них, какой формулой она задана: 1. 1, 2, 3, 4, 5,… 2. 3. 1, 4, 9, 16, 25, … 4. 5, 3, 1, -1, -3, … 5. -32, 16, -8, 4, -2, … 6. 7. 0, 0, 0, 0, 0, … 8. 9. 1, 1, 1, 1,… |
| |
Какие из данных числовых последовательностей заданы рекуррентной формулой, а какие формулой n-го члена? | Рекуррентной формулой: 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9. Формулой n-го члена: 1, 3, 6. | |
Рассмотрим последовательности, заданные рекуррентной формулой. Как в первой последовательности связаны an и an+1 члены? | an+1 получается прибавлением к an единицы. | |
Как в четвертой последовательности связаны an и an+1 члены? | an+1 получается вычитанием из an двух. | |
Иначе говоря, an+1 получается прибавлением к an минус двух. | ||
Как в седьмой последовательности связаны an и an+1 члены? | an+1 получается прибавлением или вычитанием из an нуля. | |
Как в девятой последовательности связаны an и an+1 члены? | an+1 получается прибавлением или вычитанием из an нуля. Или an+1 получается умножением или делением an на единицу. | |
Что объединяет эти последовательности? Как находится последующий член через предыдущий? | Последующий член получается из предыдущего прибавлением (вычитанием) одного и того же числа. | |
Рассмотрим остальные последовательности, которые заданы рекуррентной формулой. Как в них связаны последующий член и предыдущий? | Во второй последовательности an+1 получается умножением an на три. В пятой последовательности an+1 получается умножением an на минус одну вторую или делением на минус два. В восьмой последовательности an+1 получается умножением an на четыре. В девятой последовательности an+1 получается умножением или делением an на единицу. | |
Как в этих последовательностях находится последующий член через предыдущий? | Последующий член получается из предыдущего умножением (делением) на одно и то же число. | |
Итак, мы разделили записанные на доске последовательности на три группы: - те, в которых последующий член получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа; - те, в которых последующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число; - заданные формулой n-го члена. На сегодняшнем уроке и в дальнейшем мы будем изучать последовательности первых двух групп. |
| |
Мотивация | ||
Не только в математике, но и на практике в жизни часто встречаются задачи, для решения которых используются такие последовательности, то есть последовательности, в которых каждый член равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом, либо умноженному на одно и тоже число. Рассмотрим задачу: продолжительность года приблизительно равна 365 суткам. Более точное значение равно 365¼ суток, поэтому каждые четыре года накапливается погрешность, равная одним суткам. Для учета этой погрешности к каждому четвертому году добавляются сутки, и удлиненный год называется високосным. Например, в третьем тысячелетии високосными годами будут годы 2004, 2008, 2012, 2016, 2020… Какая зависимость существует между последующим и предыдущим членами этой последовательности? | В этой последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенного с одним и тем же числом 4. То есть an+1=an+4, где a1=2004 | |
Рассмотрим следующую задачу: Рассмотрим равносторонний треугольник со стороной 4 см. Построим треугольник, вершинами которого являются середины сторон данного треугольника. По свойству средней линии треугольника сторона второго треугольника равна 2 см. Продолжая аналогичные построения, получим треугольники со сторонами 1, ½, ¼ см и т. д. Запишем последовательность длин сторон этих треугольников: 4, 2, 1, ½, ¼, …
Какая зависимость существует между последующим и предыдущим членами этой последовательности? | В этой последовательности каждый ее член, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число ½. То есть bn= ½ּ bn.. | |
Действительно, в практических задачах часто встречаются выделенные нами первые две группы последовательностей. Поэтому мы будем изучать последовательности этих групп. | ||
Постановка учебной задачи | ||
И сегодня целью нашего урока является изучить эти последовательности: дать им названия, сформулировать определения и изучить их свойства. |
| |
II. Содержательный этап | ||
Сначала будем рассматривать последовательности первой группы и заполнять первый столбец канвы-таблицы. В таких последовательностях каждый член получается из предыдущего, прибавлением к нему одного и того же числа. Это можно записать рекуррентной формулой: an+1=an+d, где d – некоторое число. Запишем это в канву-таблицу. | an+1=an+d, где d – некоторое число | |
Выразите из этой формулы число d. Запишем это в канву-таблицу. | d= an+1-an | |
Чему оно равно? | Разности двух соседних членов последовательности. | |
Поэтому d называют разностью. Отметьте это у себя в таблицах. | d= an+1-an - разность | |
Рассмотрим пример: Продолжите ряд: -10, -14, -18… Чему равно d? | d=-4 -10, -14, -18, -22, -26, -30, … | |
Обратимся к примерам, рассмотренным в начале урока. Чему равно d в последовательностях 1, 4, 7, 9? | 1. d=1 4. d=-2 7. d=0 9. d=0 | |
Чему равны первый, второй и третий члены последовательности 4? | a1=5, a2=3, a3=1 | |
Как можно получить 3 из 5 и 1? | 3 = (5+1)/2, то есть 3 – это среднее арифметическое чисел 5 и 1. | |
Таким свойством обладают любые три подряд идущие члена этой последовательности, начиная со второго. Давайте запишем это свойство в общем виде. Если один из членов этой последовательности an, то какой для него будет предыдущим членом, а какой последующим? | an+1 – последующий для an an-1 – предыдущий для an | |
Тогда получили три подряд идущих члена последовательности an-1, an, an+1. Как выразить an через два других члена? |
| |
Как вы думаете, почему первый член последовательности таким свойством не обладает? | Для него нет предыдущего. | |
Какое тогда условие накладывается на n в формуле? |
| |
Таким образом, an член этой последовательности есть среднее арифметическое его последующего и предыдущего членов. Поэтому данный вид последовательности получил название арифметическая прогрессия. Запишем заголовок первого столбца канвы таблицы «Арифметическая прогрессия» и название числовой последовательности в определении. | Заполняют заголовок первого столбца таблицы, полностью записывают определение арифметической прогрессии. | |
Полученная связь между членами арифметической прогрессии является ее свойством. Сформулируйте его и запишите в канву-таблицу. | Каждый член арифметической прогрессии а1, а2, а3,…,аn,…, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов:
| |
Докажем это свойство. Для этого сначала запишите рекуррентную формулу для an и an+1 членов. Запишем это как первый пункт доказательства в канву-таблицу. Как вы получили данные формулы? Отметьте это в скобках. | 1). an=an-1+d an+1=an+d Из определения арифметической прогрессии | |
Переходим ко второму пункту доказательства. Выразите из первого равенства аn-1 | 2). an-1= an- d | |
Заметим, что в формуле, которую требуется доказать, отсутствует d, а в числителе стоит сумма чисел an-1 и an+1. Как вы думаете, что нужно сделать с данными равенствами, чтобы получить искомую формулу? Запишите. | Нужно сложить эти равенства. Записывают в таблицу: 2). an-1= an - d + an+1=an+d ________ an-1+ an+1= an- d+ an+d an-1+ an+1=2* an | |
Какое еще действие нужно произвести, чтобы получить искомую формулу? | Разделить обе части равенства на 2. Записывают: an-1+ an+1=2* an
| |
Для любого ли числа n справедлива полученная формула? | Нет, только для n, больших единицы. Дописывают в канву таблицу n>1. | |
Теперь рассмотрим последовательности второй группы. Определение и свойства этих последовательностей вводятся аналогично определению и свойствам последовательностей первой группы. В таких последовательностях каждый член получается из предыдущего, умножением на одно и то же число. Это можно записать рекуррентной формулой: bn+1=bn*q, где q – некоторое число. Запишем это в канву-таблицу во второй столбец. | bn+1=bn*q, где q – некоторое число | |
Выразите из этой формулы число q. Запишем это в канву-таблицу. | q= bn+1/bn | |
Всегда ли выполняется данное равенство? | Нет. | |
Почему? | Нельзя делить на ноль, поэтому bn не может быть нулем. | |
То есть ни один из членов такой последовательности не может быть равен нулю, а значит и bn+1 не равно нулю, поэтому и q не может быть равно нулю. Запишите эти условия в канву-таблицу. | q= bn+1/bn, q≠0, bn≠0 | |
Число q называют знаменателем. Отметьте это у себя в таблицах. | q= bn+1/bn, q≠0, bn≠0 - знаменатель | |
Рассмотрим пример: Продолжите ряд: 1/5, -1, 5, … Чему равно q? | q=-5 1/5, -1, 5, -25, 125, -625… | |
Снова обратимся к примерам, рассмотренным в начале урока. Чему равно q в последовательностях 2, 5, 8, 9? | 2. q=3 5. q=-1/2 8. q=4 9. q=1 | |
Чему равны первый, второй и третий члены последовательности 8? | b1=1/121, b2=4/121, b3=16/121 | |
Как можно получить 4/121 из 1/121 и 16/121. Проведите аналогию с заполнением первого столбца. |
| |
Таким свойством обладают любые три подряд идущие члена этой последовательности, начиная со второго. Как это свойство запишется в общем виде через bn-1, bn, bn+1 ? |
| |
Всегда ли справедлива эта формула? | Нет, только для bi>0 , n>1 | |
Почему? | Корень можно извлечь только из неотрицательного числа. Для первого члена последовательности нет предыдущего. | |
Какое тогда условие накладывается на bi в формуле? |
| |
Итак, bn член этой последовательности есть среднее геометрическое его последующего и предыдущего членов. Поэтому данный вид последовательности получил название геометрическая прогрессия. Запишем заголовок второго столбца канвы таблицы «Геометрическая прогрессия» и название числовой последовательности в определении. | Заполняют заголовок второго столбца таблицы, полностью записывают определение геометрической прогрессии. | |
Полученная связь между членами геометрической прогрессии, как и для арифметической, является ее свойством. Сформулируйте его и запишите в канву-таблицу. | Каждый член геометрической прогрессии b1, b2, b3,…,bn,…, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов:
| |
Докажем это свойство аналогично свойству арифметической прогрессии. | 1). bn=bn-1*q bn+1=bn*q (из определения геометрической прогрессии) 2). bn-1= bn/q * bn+1=bn*q ________ bn-1* bn+1=
| |
Итак, для арифметической и геометрической прогрессий сформулированы аналогичные свойства. Давайте сформулируем обратные утверждения для каждого из них и посмотрим, верны они или нет. | ||
Рассмотрим сначала свойство арифметической прогрессии. Сформулируйте для него обратное утверждение. | Если в последовательности а1, а2, а3,…,аn,…, каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов:
то такая последовательность является арифметической прогрессией. | |
Как вы думаете, будет ли это утверждение верным? | Наверное, да. | |
Действительно, равенство an-1+ an+1=2*an можно переписать в виде an-an-1= an+1 - аn, что означает, что разность между любым членом последовательности и предшествующим ему всегда одна и та же, а это означает, что задана арифметическая прогрессия. Таким образом, сформулирован признак арифметической прогрессии, запишите его в таблицу. | Записывают в первый столбец: Если в последовательности а1, а2, а3,…,аn,…, каждый член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов:
то такая последовательность является арифметической прогрессией. | |
Теперь рассмотрим свойство геометрической прогрессии. Сформулируйте для него обратное утверждение. | Если в последовательности b1, b2, b3,…,bn,…, каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов:
то такая последовательность является геометрической прогрессией. | |
Как вы думаете, будет ли это утверждение верным? | Наверное, да. | |
Действительно, равенство bn-1* bn+1= можно переписать в виде bn/bn-1= bn+1/bn, что означает, что отношение любого члена последовательности к предшествующему ему всегда одно и то же, а это означает, что задана геометрическая прогрессии. Таким образом, сформулирован признак геометрической прогрессии, запишите его в таблицу. | Записывают во второй столбец: Если в последовательности b1, b2, b3,…,bn,…, каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов:
то такая последовательность является геометрической прогрессией | |
Раз для каждой из прогрессий верно прямое и обратное утверждение, можно сформулировать критерии арифметической и геометрической прогрессий. Данные критерии называются характеристическими свойствами арифметической и геометрической прогрессий соответственно. Сформулируйте их устно и запишите в канву-таблицу символьно. | Формулируют и записывают: В первый столбец: Числовая последовательность а1, а2, а3,…,аn,…, является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов, то есть: а1, а2, а3,…,аn,… - арифметическая прогрессия <=> Во второй столбец: Числовая последовательность b1, b2, b3,…,bn,…, является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему геометрическому предшествующего и последующего членов, то есть: b1, b2, b3,…,bn,…, - геометрическая прогрессия <=> | |
Вновь рассмотрим определение арифметической прогрессии: заметим, что если заданы а1 и d, то остальные члены арифметической прогрессии можно найти по рекуррентной формуле аn+1=an+d. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов последовательности, однако, например, для а50 уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-ого члена. Выведем ее для арифметической прогрессии. | ||
Используя рекуррентную формулу, запишите 2-ой, 3-ий и 4-ый члены арифметической прогрессии. | а2=a1+d a3=a2+d a4=a3+d | |
Можно ли 3-ий член выразить через 1-ый? | a3=a2+d=a1+2d | |
Можно ли 4-ый член выразить через 1-ый? | a4=a3+d=a1+3d | |
Продолжая далее, таким способом можно выразить n-ый член арифметической прогрессии через первый член прибавлением к нему (n-1) раз числа d. | аn=a1+(n-1)d | |
Эта формула называется формулой n-ого члена арифметической прогрессии. Запишите ее в канву-таблицу. | Записывают в первый столбец: аn=a1+(n-1)d | |
Рассмотрим применение формулы на примере: Дана арифметическая прогрессия, найдите а16, если а1=3, d=5. | Подставим известные величины в формулу n-ого члена арифметической прогрессии, получим: а16=3+(16-1)ּ5=3+15ּ5=78 | |
Аналогично рассмотрим определение геометрической прогрессии: заметим, что если заданы b1 и q, то остальные члены геометрической прогрессии можно найти по рекуррентной формуле bn+1=bn*q. Таким способом нетрудно вычислить несколько первых членов последовательности, однако, например, для b25 уже потребуется много вычислений. Обычно для этого используется формула n-ого члена. Выведите ее аналогично формуле n-ого члена арифметической прогрессии. Запишите ее в канву-таблицу. | b2=b1*q b3=b2*q=b1*q2 b4=b3*q=b1*q3 и т. д. bn=b1*qn-1 Записывают во второй столбец: bn=b1*qn-1 | |
То есть n-й член геометрической прогрессии получается из первого члена умножением его (n-1) раз на q. | ||
Таким образом, канва-таблица заполнена. | ||
III. Рефлексивно-оценочный этап | ||
Какова была цель урока? | Изучить 2 особых вида числовых последовательностей: дать им названия, сформулировать определения и изучить их свойства. | |
Достигли ли мы ее? | Да. | |
Как мы ее достигли? | На конкретных примерах выявили особые виды числовых последовательностей. Дали им названия, сформулировали определения, сформулировали и доказали их свойства. | |
Как называются выделенные особые виды последовательностей? | Арифметическая и геометрическая прогрессии. | |
Сформулируйте их определения и характеристические свойства. | Определения: Числовая последовательность а1, а2, а3,…,аn,…, называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняются равенство: an+1=an+d, где d – разность. Числовая последовательность b1, b2, b3,…,bn,…, называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняются равенство: bn+1=bn*q, где q – знаменатель. Характеристические свойства: Числовая последовательность а1, а2, а3,…,аn,…, является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов, то есть: а1, а2, а3,…,аn,… - арифметическая прогрессия <=> Числовая последовательность b1, b2, b3,…,bn,…, является геометрическая прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему геометрическому предшествующего и последующего членов, то есть: b1, b2, b3,…,bn,…, - геометрическая прогрессия <=> | |
Домашнее задание: выучить канву-таблицу, подготовиться к зачету. №№ 000(2), 374(2,4), 407(2), 409(2,4). | № 000(2) Записать первые пять членов арифметической прогрессии, если а1=-3, d=2 Решение: По определению арифметической прогрессии: а2=а1+d=-3+2=-1 а3=а2+d=-1+2=1 а4=а3+d=1+2=3 а5=а4+d=3+2=5 Ответ: -3, -1, 1, 3, 5 № 000(2,4) В арифметической прогрессии найти: 2) а20, если а1=3, d=4 4) а11, если а1=-2, d=-4 Решение: Используем формулу n-ого члена арифметической прогрессии: аn=a1+(n-1)d 2) а20=3+(20-1)ּ4=3+19ּ4=79 4) а11=-2+(11-1)ּ(-4)=-2-40=-42 Ответ: 79, -42 № 000(2) Записать первых пять членов геометрической прогрессии, если b1=-3, q=-4 Решение: По определению геометрической прогрессии: b2=b1ּq=(-3)ּ(-4)=12 b3=b2ּq=(12)ּ(-4)=-48 b4=b3ּq=(-48)ּ(-4)=192 b5=b4ּq=(192)ּ(-4)=-768 Ответ: 3-, 12, -48, 192, -768 № 000(2,4) Для геометрической прогрессии вычислить: 2) b7, если b1=4, q=1/2 4) b6, если b1=-3, q=-1/3 Решение: Используем формулу n-ого члена геометрической прогрессии: bn=b1 ּqn-1 2) b7=4ּ 4)b6=(-3)ּ Ответ: 1/16, 1/81 |
, то есть 4/121 – это среднее геометрическое чисел 1/121 и 16/121.
, n>1
=4ּ
=
=1/16
=(-3)ּ
=3ּ
=
=1/81
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
Основные порталы (построено редакторами)