Нет четкого определения понятия числовой последовательности. Числовая последовательность определяется способом задания. Выделяют два способа задания последовательности: с помощью формулы n-го члена и рекуррентный способ. Определения арифметической и геометрической прогрессий вводятся аналогично. Прогрессиям дается формально-логическое определение: родовое понятие – числовая последовательность, видовое отличие задается индуктивно. Учащиеся впервые встречаются с определениями такого вида. Для иллюстрации нужно привести историческую справку или пример из жизни, что может послужить мотивацией для изучения данной темы. Определить то, что между членами прогрессий есть зависимость, и какая это зависимость, могут сами ученики (нужно привести наглядный пример каждой прогрессии). Учащиеся смогут самостоятельно сформулировать определения прогрессий, зная, что они являются числовыми последовательностями, и определив предварительно зависимость между членами каждой из них. Кроме словесной формулировки необходимо рассмотреть и символическую запись определений, т. к. в ней отражены рекуррентные формулы, задающие прогрессии. В рассматриваемом учебнике символические записи определений имеются. Особо выделяется из-за большого прикладного значения бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, как частный случай геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше 1. И для бесконечно убывающей геометрической прогрессии существует формула ее суммы.
Кроме определений также являются аналогичными свойства арифметической и геометрической прогрессий и их доказательства, формулы n-го члена прогрессий и способы их выведения, теоремы о сумме n первых членов прогрессий и их доказательства. Даже соответствующие задачи в тексте параграфов (ключевые) имеют аналогичные решения.
Для арифметической прогрессии выполняется свойство о среднем арифметическом. Для геометрической прогрессии выполняется аналогичное, но о среднем геометрическом. Они доказываются следующим методом: выражаются предыдущий и последующий члены через n-ый член, затем складываются (для арифметической прогрессии) / умножаются (для геометрической прогрессии) полученные равенства, далее выражается n-ый член. То есть и доказательства этих свойств аналогичны. Из этих свойств вытекают названия «арифметическая прогрессия» и «геометрическая прогрессия». Учитель должен на это обратить внимание учеников. Важно учителю также отметить, что для каждого из этих свойств справедливо обратное утверждение, то есть можно сформулировать признак, а тогда можно сформулировать и критерий, который будем называть характеристическим свойством арифметической прогрессии и характеристическим свойством геометрической прогрессии. В учебнике приведены только свойства, поэтому учителю необходимо в совместной деятельности с учащимися сформулировать признаки и критерии для арифметической и геометрической прогрессий.
Для арифметической и геометрической прогрессий также аналогично выводятся формулы n-ого члена методом неполной индукции, в которых n-ый член находится через первый член и разность для арифметической / знаменатель для геометрической прогрессии. Эти формулы являются ещё одним способом задания прогрессии. Вообще в математике эти формулы можно доказать с помощью метода математической индукции, но он достаточно сложен для восприятия школьников, поэтому данные формулы приведены в рассматриваемом учебнике без доказательства.
Теоремы о суммах n первых членов арифметической и геометрической прогрессий доказываются синтетическим методом. Для доказательства теоремы о сумме n первых членов арифметической прогрессии используется следующий прием: записывают эту сумму дважды, расположив в первом случае слагаемые в порядке возрастания их номеров, а во втором случае в порядке убывания одна под другой. Получают, что сумма каждой пары членов прогрессии, расположенные друг под другом, равна (a1 + an). В итоге, сложив почленно выражения и выполнив преобразования, получают нужную формулу. Для геометрической прогрессии также записывается сумма в двух случаях: в первом все члены записываются по формуле n-ого члена, во втором всю сумму умножают на знаменатель. Затем из первого выражения вычитают второе и выражают сумму прогрессии через первый член и знаменатель прогрессии. Итак, приемы доказательства этих теорем также аналогичны.
Также задачи, приведенные в данной теме с решением в тексте параграфов, являются аналогичными. Правила решения подобных задач не сформулированы. Учитель может их выделить совместно с учениками (чтобы найти требуемое в задаче, можно выписать соответствующую формулу, определить, что в ней известно, а что нет, затем выразить из этой формулы то, что нужно найти, подставив известные значения).
Так как прослеживается явная аналогия между понятиями прогрессий, то следует переструктурировать тему так, чтобы соответствующие дидактические единицы изучались совместно. Для этого можно составить таблицу, которая выглядит следующим образом:
Арифметическая прогрессия | Геометрическая прогрессия |
Определение Числовая последовательность | |
а1, а2, а3,…,аn,… | b1, b2, b3,…,bn,… |
называется | |
арифметической | геометрической |
прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство: | |
an+1=an+d, | bn+1=bn*q, |
где | |
d- некоторое число | q-некоторое число |
d= an+1-an – разность | q= bn+1/bn, q≠0, bn≠0 – знаменатель |
Свойство | |
Каждый член | |
арифметической | геометрической |
прогрессии, начиная со второго, равен среднему | |
арифметическому | геометрическому |
двух соседних с ним членов | |
|
|
Доказательство: | |
1). an=an-1+d an+1=an+d (из определения арифметической прогрессии) 2). an-1= an- d + an+1=an+d ________ an-1+ an+1= an - d+ an+d an-1+ an+1=2* an
| 1). bn=bn-1*q bn+1=bn*q (из определения геометрической прогрессии) 2). bn-1= bn/q * bn+1=bn*q ________ bn-1* bn+1=
|
Признак | |
Если в последовательности | |
а1, а2, а3,…,аn,… | b1, b2, b3,…,bn,…, |
каждый член, начиная со второго, равен среднему | |
арифметическому | геометрическому |
двух соседних с ним членов: | |
|
|
то такая последовательность является | |
арифметической | геометрической |
прогрессией. | |
Характеристическое свойство | |
Числовая последовательность | |
а1, а2, а3,…,аn,… | b1, b2, b3,…,bn,…, |
является | |
арифметической | геометрической |
прогрессией тогда и только тогда, когда | |
|
|
Формула n-го члена | |
арифметической | геометрической |
прогрессии | |
аn=a1+(n-1)d | bn=b1*qn-1 |
, bi>0 , n>1
, n>1
, n>1
, bi>0 , n>1
, n>1
, bi>0 , n>1Из выше изложенного можно сделать вывод, что изучение всей темы «Прогрессии» целесообразно строить методом УДЕ, используя приведенную таблицу.
Анализ задачного материала
П |
о учебнику Алгебра. Учебник для 9 кл. средней школы / под ред. Ш. А. Алимова. – М.: Просвещение, 1998 г., глава V, параграфы §§27-32. Задачный материал присутствует как в параграфах, так и в упражнения в главе, а также задачах на повторение курса алгебры за 9 класс. Представлены задачи на отработку основных дидактических единиц темы «Прогрессии».
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 |
Основные порталы (построено редакторами)