Программа по дисциплине: Статистическая физика (стр. 4 )

A. В чем ошибочность приведенного рассуждения?

B. Получить правильное выражение для энтропии в области бозе-конденсации.

2.6. Тело с теплоемкостью С(Т) и магнитной восприимчивостью c находится в слабом магнитном поле, которое адиабатически меняется от значения H = H0 до нуля. Найти изменение температуры ∆T; объяснить знак эффекта.

2.7. ЛИдеальный газ, состоящий из N точечных молекул, заключен в сосуд объемом V. Найти число состояний (фазовый интеграл) в классическом случае и, пользуясь им, получить уравнение состояния. Вычислить энтропию при заданных энергии, объеме и числе частиц.

2.8. СНа примере системы, состоящей из N молекул идеального газа, показать, что каноническое распределение Гиббса по энергиям в пределе N ˃˃ 1 переходит в микроканоническое распределение.

2.9. Доказать наличие максимума в теплоемкости cVN одномерного идеального ферми-газа. Получить высокотемпературные разложения давления, плотности и энтропии для одномерного идеального ферми-газа.

2.10. Найти явный вид химического потенциала двумерного идеального бозе-газа, а также низкотемпературное поведение его теплоемкости.

ЗАДАЧИ

1. ССистема состоит из N независимых частиц, каждая из которых может находиться в одном из двух квантовых состояний с энергиями e+ и e-. Определить энтропию S состояния системы с заданной энергией E. Найти равновесные концентрации частиц в состояниях с энергиями e± при температуре Т. Обсудить случай, когда каждое из состояний имеет конечную кратность вырождения z.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Найти температуру как функцию энергии E и показать, что она может быть отрицательной. Что произойдет, если система с отрицательной температурой вступит в тепловой контакт с системой с положительной температурой? Найти температурную зависимость теплоемкости системы.

2. *Рассмотреть трехуровневую систему: каждая частица может находиться в одном из трех квантовых состояний с энергиями e+, e0 и e-.

Найти температуру как функцию энергии E и показать, что она может быть отрицательной.

3. ССистема состоит из N невзаимодействующих осцилляторов с частотой ν.

Определить энтропию состояния системы с заданной энергией и получить связь между энергией и температурой системы.

Установить связь между температурой системы и средней энергией. Выразить среднюю энергию через температуру. Определить теплоёмкость при заданных (N, T).

Определить число состояний W(E) при заданной полной энергии по статистической сумме ZN(β) системы. Пользуясь асимптотической оценкой при больших N, вычислить энтропию S(E).

4. Газ атомов с моментом J спином S и орбитальным моментом L помещен в слабое магнитное поле H, температура и расщепление в магнитном поле малы по сравнению с интервалом тонкой структуры.

Найти свободную энергию, вычислить χ и исследовать случаи:

а) расщепление в магнитном поле ˃˃ T;

б) расщепление в магнитном поле ˂˂ T.

5. СВычислить энтропию и вращательную теплоемкость чистых орто- и параводорода. Записать условие их полного термодинамического равновесия и определить вращательную теплоемкость смеси. Сравнить теплоемкость смеси при заданных концентрациях орто - и параводорода с теплоемкостью в условиях полного термодинамического равновесия.

6. СПостроить изотермы идеальных ферми - и бозе-газов. Качественно рассмотреть предельный переход к больцмановскому случаю.

7. СПостроить кривые температурной зависимости величины N0/N, химического потенциала и удельной теплоемкости для идеального бозе-газа. Определить скачок производной теплоемкости по температуре в точке бозе-конденсации.

8. Найти температуру бозе-конденсации для ультрарелятивистского газа ε = cp.

9. Рассмотрим идеальный бозе-газ из частиц, обладающих внутренними степенями свободы. Предположим для простоты, что кроме основного энергетического уровня ε0 = 0 существует только один возбужденный уровень внутренней энергии частицы ε1. Определить температуру бозе-эйнштейновской конденсации как функцию энергии ε1.

10. Вычислить энергию Ферми, внутреннюю энергию Е, давление и теплоемкости cV,N и cV,μ идеального ферми-газа, состоящего из частиц со спином 1/2, с точностью до членов порядка T2 в случае сильного вырождения.

11. СНайти магнитную восприимчивость вырожденного электронного газа (парамагнетизм Паули свободных электронов в металле и диамагнетизм Ландау) при условии, что μBH (μB - магнитный момент электрона) много меньше энергии Ферми. Указать условие существования диамагнитных металлов.

12. *Найти диамагнитную восприимчивость двумерного газа свободных электронов, если εF ˃˃ μBH ˃ T (эффект де Гааза–ван Альфена). Оценить область температур, в которой можно ожидать наблюдение этого эффекта.

13. Потенциал взаимодействия N частиц, расположенных на одной прямой, является функцией только расстояния между частицами. Система классическая. Доказать, что в том случае, когда учитывается только взаимодействие между соседними частицами, связь между давлением и объемом (расстоянием L между крайними частицами) может быть описана простой однозначной функцией, и потому не будет никаких особых явлений, соответствующих фазовому переходу.

ЗАДАНИЕ 2

УПРАЖНЕНИЯ

1. ТЕРМОДИНАМИКА, ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ

СТАТИСТИЧЕСКИХ АНСАМБЛЕЙ, НИЗКОРАЗМЕРНЫЕ

СИСТЕМЫ

1.1. Для электронов, находящихся под поверхностью Ферми, произвести переход к дырочному представлению. Записать полный гамильтониан идеального ферми-газа, используя операторы рождения и уничтожения квазичастиц (электронов над поверхностью Ферми и дырок под поверхностью Ферми). Определить химический потенциал и энергетический спектр полученных квазичастиц.

1.2. Доказать, что записанный в представлении вторичного квантования гамильтониан взаимодействия электронного спина с внешним магнитным полем инвариантен относительно u-v-преобразования.

1.3. Найти преобразование Боголюбова, диагонализующее фермионный гамильтониан:

Здесь J1, J2, J2 – некоторые постоянные.

Определить спектр квазичастиц.

1.4. *Используя представление оператора смещения для гармонического осциллятора получить формулу Дебая–Уоллера:

Для объяснения каких физических эффектов используется полученное соотношение?

Примечание. Для решения удобно воспользоваться результатом упр. 1.3 из задания 1.

ЗАДАЧИ

1. Найти:

а) флуктуации

б) флуктуации плотности n = N/V, энергии и энтальпии.

2. Пусть система N изинговых спинов образует кольцо.

Предположим, что энергия такой системы есть

где σ1 принимает значения +1 и -1.

Найти свободную энергию и магнитную восприимчивость системы.

Показать, что при T = 0 фазовые переходы отсутствуют.

3. СНайти распределение частиц по импульсам для основного состояния неидеального бозе-газа.

4. ЛНайти зависимость плотности сверхтекучей компоненты слабонеидеального бозе-газа от температуры при T → 0 (T ˂˂ Tc).

5. В модели БКШ определить:

а) *скачок теплоемкости при T = Tc;

б) Лплотность сверхпроводящих электронов n0(T) в предельных случаях T << Tc и T £ Tc.

6. Используя уравнения Гинзбурга-Ландау, найти верхнее критическое поле для сверхпроводника второго рода. Сравнить с термодинамическим критическим полем.

7. Используя уравнения Гинзбурга-Ландау, найти глубину проникновения для слабого магнитного поля.

8. СИспользуя теорему, доказанную в упражнении 2.14, получить общее выражение для спиновой восприимчивости сверхпроводника. Определить её асимптотическое значение в пределе низких температур (сдвиг Найта). Качественно объяснить полученный результат.

9. СГамильтониан ферромагнетика в модели Гейзенберга имеет вид

(1)

где - оператор спина в ячейке векторы , определяют узлы кристаллической решетки. В приближении самосогласованного поля определить точку фазового перехода Tc, температурную зависимость магнитной восприимчивости c и спонтанной намагниченности вблизи Тc.

10. СДля модели Гейзенберга (1) при T ˂˂ Tc определить спектр возбуждений (магнонов) и найти температурную зависимость теплоемкости спиновых волн.

11. ЛИспользуя уравнения Гинзбурга-Ландау, определить флуктуационную поправку к свободной энергии, энтропии и теплоемкости. Установить область применимости уравнений Гинзбурга-Ландау.

12. Предположим, что разложение свободной энергии производится по четным степеням параметра порядка m, но по дробным степеням малого параметра