ФГБОУ ВПО Уральский государственный педагогический университет
Математический факультет
В. Ю. Бодряков
Индивидуальные домашние задания (ИДЗ)
по дисциплине «Математические основы обработки информации»
Часть 1
Екатеринбург – 2011
Введение
Настоящая методическая разработка предназначена для студентов всех форм обучения, изучающих дисциплину «Математические основы обработки информации». Разработка содержит индивидуальные домашние задания (ИДЗ) по 30 вариантов в каждом и методические указания к их решению.
Методические указания к решению задач
ИДЗ-1. Основные понятия теории множеств
Определить и изобразить на рисунках множества A, B, AÈB, AÇB, A/B, B/A, ADB, где
A = {(x, y) Î R2: |x| £ 1, |y| £ 1},
B = {(x, y) Î R2: |x – 1| £ 1, |y – 1| £ 1}.
Решение: Множества A и B представляют собой множества точек на декартовой плоскости R ´ R = R2 (плоскости Oxy). Как нетрудно установить, множество A представляет собой внутренность квадрата с центром в точке (0; 0) со сторонами длиной 2, параллельными координатным осям; граница принадлежит множеству A. Аналогично, множество B представляет собой внутренность квадрата с центром в точке (1; 1) со сторонами длиной 2, параллельными координатным осям; граница принадлежит множеству B. Множества A, B, AÈB, AÇB, A/B, B/A, ADB изображены на рис. 1.
ИДЗ-2. Законы алгебры множеств
Пусть A, B, C – подмножества некоторого универсального множества U. Установите справедливость нижеследующего утверждения:
(A\B)È(B\A) = (AÈB)\(AÇB).
Решение: Разложим множества A и B на непересекающиеся подмножества {xA}, {xB}, {xAB}:
A = {xAÈxAB};
B = {xBÈxAB}.
В этих обозначениях для левой части предполагаемого равенства имеем:
A\B = {xAÈxAB}\{xBÈxAB} = {xA};
B\A = {xBÈxAB}\{xAÈxAB} = {xB};
(A\B)È(B\A) = {xA}È{xB} = {xAÈxB}.
Для правой части равенства имеем:
AÈB = {xAÈxAB}È{xBÈxAB} = {xAÈxBÈxAB};
AÇB = {xAÈxAB}Ç{xBÈxAB} = {xAB};
(AÈB)\(AÇB) = {xAÈxBÈxAB}\{xAB} = {xAÈxB}.
Левая и правая части доказываемого равенства одинаковы и равны {xAÈxB}. Справедливость утверждения установлена.
|
|
|
|
|
|
| Рис. 1 |
ИДЗ-3. Элементы комбинаторики
а) Вычислите значение X комбинаторного выражения;
б) Решите комбинаторную задачу;
в) Решите комбинаторную задачу повышенного уровня сложности.
а) X = 10P4×
– 
;
б) В студенческой группе 10 девушек и 6 юношей. Для участия в эстафете от группы требуется выставить команду из двух девушек и двух юношей. Сколькими способами можно сформировать команду?
в) Сколькими способами шесть пассажиров могут сесть в электричку из пяти вагонов так, чтобы ни один вагон не оставался пустым?
Решение: 1а) С учетом известных формул комбинаторики (без повторений) для числа перестановок из n элементов:
Pn = n!;
размещений из n элементов по k элементов:
= 
;
и сочетаний из n элементов по k элементов:
= 
;
проведем необходимые преобразования:
X = 10P4× – = 10×4!×
× 
– 
= 2×5!× 
× 
– 5! =
= 5!×(2×
– 1) = 5! = 120.
б) Число способов выбрать для участия в команде двух девушек равно:
= 
= 
= 45.
Аналогично, число способов выбрать для участия в команде двух юношей равно:
= 
= 
= 15.
Согласно комбинаторному принципу умножения, число способов сформировать команду из двух девушек и двух юношей равно:
n = ´ = 45´15 = 675.
в) Из условия задачи ясно, что в одном вагоне (из пяти) должны разместиться два пассажира, а в остальных четырех вагонах – по одному.
Для удобства будем считать, что вначале в электричку садятся пять человек (из шести), а затем в один из пяти вагонов вторым пассажиром входит оставшийся шестой человек.
Число способов выбрать пять пассажиров из шести составляет 
= 6. Число способов этим пяти выбранным пассажирам разместиться по одному в пяти вагонах равно числу перестановок из пяти: P5 = 5! = 120. Таким образом, число способов пяти пассажирам, отобранным из шести, разместиться по одному в пяти вагонах, равно ´ P5 = 6´120 = 720. Наконец, оставшийся шестой человек может сесть в один из пяти вагонов 5 различными способами.
Окончательно, полное число способов шести пассажирам сесть в электричку из пяти вагонов так, чтобы ни один вагон не оставался пустым, составляет n = ´P5´5 = 720´5 = 3600.
Ответ: a) X = 120; б) n = ´ = 675; в) n = 5´P5 = 3600.
ИДЗ-4. Классическое определение вероятности
Решите задачу на вычисление вероятности, основываясь на ее классическом определении.
Из множества всех последовательностей длины 10, состоящих из цифр 0; 1; 2; 3, наудачу выбирается одна. Какова вероятность того, что выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности.
Решение: Вероятность события A – «Выбранная последовательность содержит ровно 5 нулей, причем два из них находятся на концах последовательности», согласно классическому определению, равна
P(A) = 
,
где n – полное число равновероятных исходов; m – число исходов, благоприятствующих событию A.
Число способов заполнить 10 позиций в последовательности цифрами 0; 1; 2; 3 составляет, с учетом возможности повторения цифр,
n = 410 = 220 = 1048576.
Число способов разместить 5 нулей на 10 позициях в последовательности при условии, что нули обязательно находятся на первом и десятом месте в последовательности, равно числу способов разместить три нуля на восьми свободных позициях в последовательности и равно числу сочетаний из 8 элементов по 3: 
= 
= 56. Оставшиеся 8 – 3 = 5 позиций в последовательности будут заполнены цифрами 1; 2; 3. Число способов осуществить это, с учетом возможности повторения, равно 35 = 243. Т. о., число исходов, благоприятствующих событию A, равно
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
Основные порталы (построено редакторами)