Обозначим через 
наименьший положительный корень функции
,
а через 
– наименьший положительный корень функции
Тогда получим, что неравенство (4) справедливо при всех 
тогда и только тогда, когда
(12)
Условие (12) является точным. Достаточные условия справедливости неравенства (4) на пространстве 
можно получить, например, из неравенства (6):
Приведем некоторые следствия.
Признак 1.3. Неравенство
при всех справедливо тогда и только тогда, когда
где 
.
Обозначим через 
наименьший положительный корень функции 
, а через 
– наименьший положительный корень функции 
. Отметим, что 
, 
.
В случае 
, 
и целых 
, рассмотренном ранее в работе [1] (см. также [11, с.437]), получим
Признак 1.4. Неравенство
справедливо тогда и только тогда, когда
Признак 1.5. Если
то неравенство (4) справедливо тогда и только тогда, когда
Рассмотрим теперь более подробно частный случай 
, 
, который исследовался ранее в работе [5]. Наилучшая константа 
в неравенстве
имеет вид
В случае полуцелого индекса, т. е. при 
функции Бесселя можно выразить через элементарные функции. Отсюда, в частности, получаем ряд точных констант: 
,
где
, 
; 
;
,
где 
– наименьшее положительное решение уравнения 
,
,
где 
– наименьшее положительное решение уравнения 
.
Как известно, 
[10, c.192]. Отсюда предельным переходом при 
из полученного выше значения для получаем 
.
Если функции Бесселя не являются элементарными, наилучшую константу можно оценить снизу. Оценивая спектральный радиус оператора 
, получаем:
1) 
(получив в работе [5] эту оценку, Troy поставил вопрос о точности этой константы. Однако ясно, что, кроме случая 
, она точной не является);
2)
Можно также получить оценку точной константы сверху: 
III. Степенная функция со сдвигом 
, 
.
Общее решение уравнения (8) равно
(
– модифицированная функция Бесселя II рода), если 
, и
(
– функция Бесселя II рода), если 
.
Обозначим через 
наименьший положительный корень функции
и через 
– наименьший положительный корень функции
Тогда получаем, что неравенство (4) справедливо тогда и только тогда, когда
Отметим некоторые частные случаи, соответствующие полуцелому индексу функций Бесселя.
Если 
, то 
является наименьшим положительным корнем уравнения 
, а 
– уравнения 
Если 
, то 
является наименьшим положительным корнем уравнения 
, а 
– уравнения 
.
Если 
, то 
является наименьшим положительным корнем уравнения 
, а 
– уравнения 
.
Если 
, то 
является наименьшим положительным корнем уравнения
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
Основные порталы (построено редакторами)