Если 
и 
, то для функции 
справедливо неравенство
,
что приводит к противоречию. Если же 
, то это неравенство справедливо для функции 
И наконец, если 
, то оно справедливо для функции 
Итак, выполняется хотя бы одно из неравенств (14), (15). Тогда в силу теорем 1.1 и 2.1 
.
Пусть теперь 
. Тогда для любого
в силу теорем 1.1 и 2.1 справедливы неравенства (14) и (15). Складывая эти неравенства, получаем (4).
Следствие 3.1. Если
то неравенство (4) справедливо для всех .
Следствие 3.2. Если
то неравенство (4) справедливо для всех .
Следствие 3.3. Если
то неравенство (4) справедливо для всех .
Полагая в следствии 3.3 
, получаем
Следствие 3.4. Если
то неравенство (4) справедливо для всех .
Из 3.4 получаем
Следствие 3.5. Если
то неравенство (4) справедливо для всех .
Следствие 3.6. Если функция 
абсолютно непрерывна и
то неравенство (4) справедливо для всех .
Отметим, что, положив, например, в (4) 
, можно получить также необходимое условие справедливости неравенства (4):
Рассмотрим теперь некоторые простые частные случаи.
I. 
, 
.
Из формул (11) и (13) получаем 
. Напомним, что константа 
была ранее получена Olech [3], Opial [4].
II. 
, 
.
Из формул (11) и (13) получаем, что 
. Эта константа получена ранее с помощью методов классического вариационного исчисления.
III. 
, (или
, ).
Из формулы (11) получаем, что 
(здесь корень функции Бесселя 
является решением уравнения 
). Из формулы (13), что 
. Таким образом,
IV. , 
, 
,
(или , , ).
Пусть 
– наименьший положительный корень уравнения 
при 
, 
и – положительный корень уравнения 
при . Из формулы (11) следует, что 
. Из формулы (13) получаем, что 
.
Отсюда
.
Отметим, что при 
V. 
, 
(или 
, 
, ).
Из формулы (12) следует, что
.
Аналогично имеем
.
Обозначим через 
и 
функции, обратные к функциям 
, 
соответственно. Тогда
если 
, и
если 
. Отметим некоторые частные случаи.
При 
точная константа имеет вид 
,
где 
.
При 
точная константа имеет вид
где 
.
В "сингулярном случае" 
(или 
) имеем
при всех , если 
. Константа 
здесь точная.
Список литературы
1. И. О неравенствах II. Об одном классе интегральных неравенств // Матем. сб. 1938. Т.16, № 4. C.309–324.
2. Beesack P. R. On an integral inequality of Z. Opial // Trans. Amer. Math. Soc. 1962. № 000. P.470–475.
3. Olech C. A simple proof of a certain result of Z. Opial // Ann. Polon. Math. 1960. №8. P.61–63.
4. Opial Z. Sur une inegalite// Ibid. P. 29–32.
5. Troy W. C. On the Opial-Olech-Beesack inequalities // USA-Chile Workshop on Nonlinear Analysis, Electron. J. Diff. Eqns., Conf. 06. 2001. P.297–301.
(URL://ejde. math. swt. edu, URL://ejde. math. unt. edu)
6. Azbelev N. V., Rakhmatullina L. F. Theory of linear abstract functional differential equations and applications // Mem. on different.
equat. and math. physics. Tbilisi, Georgia. 1996. V.8. P.1–102.
7. А. О вариационных задачах с линейными ограничениями // Изв. вузов. Математика. 1999. №2. С.30–44.
8. Bravyi E. I., Gusarenko S. A. On a class of generalized variation inequalities // Mem. on different. equat. and math. physics. Tbilisi, Georgia. 2002. P.43–54.
9. И., А. Об одном классе интегральных неравенств с отклоняющимся аргументом // Вестник ПГТУ. Функционально-дифференциальные уравнения. 2002. №3. C.74–86.
10. Г., Литльвуд Дж. Е., Полиа Г. Неравенства. М.: Гос. изд. ин. лит., 1948. 456 с.
11. Functional Analisys: справочник по специальным функциям. М.: Наука, 1979.
Generalised integro-differential Wirtinger
Inequality
S. A. Gusarenko
Perm State University, Russia, 614990, Perm, Bukireva st., 15
*****@***ru ; (342) 239-63-45
Necessary and sufficient conditions of justice of an integro-differential inequality 
with one or two restrictions of a kind 
, 
are received. Inequalities with sedate functions 
, 
are in detail considered.
Key words: Wirtinger's inequality; minimizing quadratic functional.
© С. А. Гусаренко, 2010
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
Основные порталы (построено редакторами)