а 
– уравнения
=
.
Введем обозначения: 
, 
.
Признак 1.6. Если
,
то неравенство (4) справедливо тогда и только тогда, когда
.
Выпишем также некоторые достаточные условия справедливости неравенства (4). Из следствия 1.5 получим
.
Из следствия 1.2 получаем 
,
IV. Степенная функция со сдвигом 
, 
Общее решение уравнения (8)
,
если 
, и
если 
.
Отсюда получаем, что неравенство (4) справедливо тогда и только тогда, когда
2. Неравенство с условием 
Интегро-дифференциальное неравенство (4) с условием 
рассматривается полностью аналогично.
Обозначим через 
пространство таких абсолютно непрерывных функций 
, что 
и .
Пусть функции 
измеримы и неотрицательны на 
, причем
Ядро интегрального вполне непрерывного оператора 
определим равенством
Теорема 2.1. Неравенство (4) справедливо для всех 
тогда и только тогда, когда .
Теорема 2.2. Неравенство (4) справедливо для всех тогда и только тогда, когда при всех 
задача
имеет только нулевое решение.
Теорема 2.3. Пусть функция 
абсолютно непрерывна на 
. Тогда неравенство (4) справедливо для всех тогда и только тогда, когда при всех краевая задача
имеет только нулевое решение.
I. Постоянная функция
.
Неравенство (4) на пространстве справедливо тогда и только тогда, когда
(13)
II. Степенная функция 
, 
.
Неравенство (4) на пространстве справедливо тогда и только тогда, когда
.
III. Степенная функция со сдвигом 
, 
.
Неравенство (4) на пространстве справедливо тогда и только тогда, когда
IV. Степенная функция со сдвигом 
,
.
Неравенство (4) на пространстве справедливо тогда и только тогда, когда
3. Неравенство с условиями
Обозначим через 
пространство таких абсолютно непрерывных функций
, что и 
.
Пусть функции 
измеримы и неотрицательны на 
, причем
при каждом 
.
Рассмотрим неравенство (4) в пространстве 
. Разобьем промежуток на отрезки 
и 
и сведем таким образом неравенство (4) к задаче (5) на промежутке и к аналогичной задаче на промежутке .
Так как величина 
не убывает и непрерывна по 
, 
не возрастает и непрерывна по , причем 
=
=0, то существует такая точка 
, что 
.
Отметим, что 
.
Теорема 3.1. Неравенство (4) справедливо для всех 
тогда и только тогда, когда 
.
Доказательство. Пусть неравенство (4) справедливо для любой функции . Покажем, что тогда
для любой функции
или же
для любой функции. Предположим, найдутся две такие функции 
и 
, что
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
Основные порталы (построено редакторами)