Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
(3)
где q – волновой вектор рассеяния, n – показатель преломления среды, l – длина волны падающего света, q – угол рассеяния.
Таким образом, для расчета коэффициента диффузии сферических монодисперсных частиц необходимо определить постоянную скорости диссипации Г и зная показатель преломления среды, длину волны света и угол рассеяния, использовать формулу:
(4)
Гидродинамический диаметр сферических частиц dh рассчитывается из коэффициента диффузии с использованием уравнения Стокса-Эйнштейна:
(5),
где h – вязкость дисперсионной среды. Из уравнения (5) следует, что:
(6)
В формулу (6) входят величины l и q, задаваемые прибором и величины Т, n и h – задаваемые условиями измерения. Видно, что для определения размеров частиц методом динамического рассеяния света необходимо поддерживать постоянную температуру измерения и знать показатель преломления и вязкость среды, в которой движутся частицы. Особое внимание следует обратить на вязкость, которая может изменяться на несколько порядков в зависимости от температуры и состава.
Если частицы в суспензии не являются монодисперсными, то уравнение (2) уже не описывает вид АКФ. В этом случае показатель экспоненты принято разлагать в ряд по степеням времени задержки td.
(7),
или в более распространенной логарифмической форме:
(7а)
Обычно ограничиваются двумя членами разложения.
Присутствующая в уравнении константа скорости диссипации Г также связана с коэффициентом диффузии уравнением (3) а с гидродинамическим диаметром уравнением (6), однако поскольку образец является полидисперсным, это будут средние значения:
(8)
(9),
где Ni – число частиц в определенной фракции (i), mi, di, Di – их масса размер и коэффициент поступательной диффузии.
Параметр m2 в уравнениях (7), (7а) характеризует дисперсию распределения коэффициента диффузии:
(10)
В методе динамического светорассеяния полидисперсность распределения принято характеризовать специальным параметром:
(11)
Рассчитываемые по формулам (8) – (11) средние значения и характеристики полидисперсности не ограничиваются каким-либо определенным видом распределения, однако в большинстве практических случаев порошкообразные материалы подчиняются логнормальному распределению частиц по размерам.
Трактовка параметров дисперсности частиц в суспензии, получаемых методом ДРС
В конце концов, для конкретного пользователя не так важно, как работает метод, как то, что можно с его помощью получать. Однако детали метода важны для корректной трактовки результатов. Из представленных выше деталей метода ДРС следует, что в результате экспериментального измерения и компьютерной обработки полученной АКФ в унимодальном режиме исследователь получает значения среднего диаметра частиц по выборке (9) и среднеквадратичное отклонение для диаметра, рассчитываемое с использованием формулы (10), с учетом зависимости коэффициента диффузии от размера частицы (5). Для дальнейшей трактовки полученных данных необходимо задать форму распределения частиц по размерам.
Основным предположением метода ДРС является то, что распределение частиц по размерам в суспензии носит логнормальный характер, т. е. величина логарифма диаметра частицы d является нормально распределенной.
(12)
где m – среднее значение логарифма диаметра (lndср), s – дисперсия нормального распределения логарифма диаметра. Фактически данное распределение означает, что оно носит гауссовый характер, но по оси абсцисс при этом откладывается не сам диаметр, а его логарифм. Типичный вид логнормального распределения в линейных и полулогарифмических координатах показан на рис.5
Рис.5 Типичный вид логнормального распределения в линейных (а) и полулогарифмических (б) координатах.
На первый взгляд такое предположение о характере распределения частиц по размерам в любой произвольно взятой суспензии выглядит произвольно. Однако выбор этого распределения отнюдь не случаен, и исторически восходит к работе А. Н. Колмогорова[1]. В ней впервые была указана общая математическая схема, в рамках которой распределения логарифмов размеров частиц (золота в золотоносных россыпях, частиц горных пород при их дроблении) подчиняются приближенно закону Гаусса. Непосредственные построения кривых распределения частиц на основании анализа электронных микрофотографий на многочисленных примерах убеждают, что логнормальное распределение является очень хорошим для выборки частиц, полученных методами дробления.
В соответствии со свойствами логнормального распределения параметры m и s (6) связаны со средним значением диаметра частицы и среднеквадратичным отклонением следующими соотношениями
(13)
(14)
Поскольку средний диаметр и среднеквадратичное отклонение являются непосредственно измеряемыми величинами метода ДРС, они позволяют решением системы уравнений (13, 14) рассчитать величины m и s из экспериментальных данных и построить распределение (логнормальное) по размерам частиц в суспензии. Все это осуществляется соответствующим программным обеспечением.
В случае, если образец суспензии имеет мультимодальное распределение по размерам, расчет происходит также по уравнениям (13), (14) для каждой отдельной АКФ из уравнения (5). Конечное мультимодальное распределение строится как сумма распределений (12) с весовыми множителями, определенными прибором при разложении интегральной АКФ на вклады по уравнению (5).
Таким образом, в методе ДРС распределение частиц по размерам не определяется непосредственно и получаемые кривые распределения строятся в предположении о соблюдении логнормального закона для распределения (в унимодальной и мультимодальной формах).
Отдельно стоит вопрос о том, как определить с каким видом распределения: унимодальным или мультимодальным имеем дело. Как правило, первоначально предполагается унимодальное распределение по размерам, и измерения проводят для него. В регистрирующем устройстве заложены критерии формы АКФ для унимодального распределения, если они соблюдаются, то прибор определяет среднее значение и среднеквадратичное отклонение для логнормального распределения. Если же критерии не выполняются, то прибор определяет только среднее значение, но не среднеквадратичное отклонение, о котором указывается, что оно слишком широкое. В этом случае построить логнормальное распределение невозможно и необходим мультимодальный анализ.
Объемное и числовое распределения частиц по размерам и распределение интенсивности рассеяния по размерам
Для корректной трактовки результатов, получаемых методом ДРС необходимо отчетливо понимать разницу между разными типами распределения частиц по размерам. Любой распределение в принципе характеризует долю (точнее плотность вероятности нахождения) частиц определенного размера, присутствующих в выборке. Однако данная доля может быть вычислена различными способами.
Простейшим и на первый взгляд наиболее естественным способом вычисления является нахождение числовой доли:
, (15)
которая характеризует число частиц i-фракции с определенным размером r по отношению ко всем присутствующим в системе частицам. Формула (15) описывает плотность вероятности для числового распределения частиц.
Однако можно найти не числовую, а весовую долю частиц данной фракции, она будет описываться следующей формулой:
(16)
Формула (16) описывает плотность вероятности весового распределения частиц. Продолжая логику перехода от формулы (15) к формуле (16) можно вычислить еще одну долю:
(17),
которая отвечает распределению квадратов массы частиц. Данное распределение называется z-распределением. Можно построить распределения и более высокого порядка, но они не имеют практического значения.
Распределениям (15), (16), (17) отвечают разные кривые, которые связаны друг с другом. Для распределения частиц по диаметрам эту связь можно установить, если известна связь между массой и диаметром частиц. Для сферических частиц масса пропорциональна кубу диаметра:
(18)
Подстановка соотношения (18) в формулы (16) и (17) позволяет переходить от числового распределения по размерам к весовому и z-распределению. На рис.6 представлены кривые числового, взвешенного и z-распределения, построенные для одной и той же совокупности частиц, описываемой логнормальным распределением с m=2 и s=0.5. Из рисунка отчетливо видно, как изменяется форма распределения в зависимости от способа усреднения размера частиц.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 |
Основные порталы (построено редакторами)