Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАРОДНОГО ХОЗЯЙСТВА и ГОСУДАРСТВЕННОЙ СЛУЖБЫ
при ПРЕЗИДЕНТЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
СИБИРСКИЙ ИНСТИТУТ УПРАВЛЕНИЯ – ФИЛИАЛ РАНХиГС
Кафедра информатики и математики
2015-2016 учебный год
Разработчик:
Межсессионная контрольная работа по математике 2015
(направление 38.03.03 Управление персоналом, полная программа)
Инструкция по выполнению
Работа выполняется студентами самостоятельно в период времени между сессиями первого учебного года и оформляется в электронном виде в MS Word с соблюдением стандартных требований:
l объем не должен превышать 10 страниц машинописного текста;
l используется шрифт гарнитуры Times New Roman (кегль 12–14 пт);
l междустрочный интервал полуторный;
l размеры полей: верхнее, нижнее, правое — 2 см, левое — 3 см.
Так как набор любого научного (в частности, математического) текста средствами MS Word крайне неудобен, можно отсканировать страницы с записями и собрать в один документ. Рисунки можно рисовать средствами редактора или сканировать и вставлять как графические объекты. Если вычисления производятся с помощью MS Excel, то расчетные таблицы также можно скопировать и вставить в текст.
Выполненная работа отправляется на портал вуза не позднее, чем за неделю до начала следующей сессии. Хотя портал позволяет прикреплять файлы новых версий MS Word с расширением docx, прошу сохранять работы в формате Word 97–2003 с расширением doc. Учитывайте, что docx-файлы, открытые на другом компьютере, могут меняться до неузнаваемости.
Своевременно отправленные работы будут проверены в течение оставшейся до сессии недели, а отправленные с опозданием — в течение двух недель со дня поступления на портал (если это станет причиной недопуска к экзамену, неявка будет считаться неявкой без уважительной причины).
Успешно выполненной считается любая самостоятельная работа, в которой есть по 1–2 правильно выполненных задания из каждой темы. При оформлении решений считайте, что Вы пишете краткий отчет о проделанной работе и даете рекомендации по предложенной ситуации.
Для выполнения заданий достаточно материалов лекций и семинаров, а также знакомства с темами из списка вопросов для самостоятельного изучения. Рекомендуемая литература (из библиотеки института) приводится после списка вопросов и в конце этого файла. Работы с упоминаниями понятий и методов, далеко выходящих за эти рамки (например, симплекс-метода или интегральной теоремы Муавра — Лапласа), оцениваться не будут. Также не будут оцениваться работы, содержащие явные признаки несамостоятельного выполнения (фрагменты других работ, характерные опечатки и т. п.) или оформленные с нарушением приведенных выше стандартных требований.
Не забывайте, что любая самостоятельно выполненная работа во всех смыслах лучше и полезнее заказанной. К тому же последние редко бывают приличного качества.
С любыми вопросами, касающимися изучения дисциплины, можно обращаться по электронной почте (a. *****@***ru) или на кафедру (к. 333 и 328).
Математические модели задач. Поиск оптимального решения
Введите переменные и запишите математические модели (целевую функцию, ограничения и т. п.) для следующих задач. Сформулируйте задачи о поиске наилучшего плана и решите их. При решении основное внимание следует обратить не на вычисления (можно решить их с помощью компьютера), а на содержательное толкование полученных результатов. Кратко опишите, как использовать полученные решения.
1. При организации отдела обслуживания необходимо оценить количество сотрудников, площадь помещения и затраты на содержание отдела как функции от числа обращений посетителей в сутки. Штатным расписанием предусмотрены должности старшего специалиста, специалиста, администратора, охранника и уборщика помещений. Количество специалистов и администраторов зависит от числа обращений, а количество охранников и уборщиков — от площади помещения. Площадь помещения, в свою очередь, зависит от числа рабочих мест специалистов и числа посетителей, ожидающих в очереди. В затраты на содержание также включается заработная плата работников. Предложите свои параметры вышеупомянутых зависимостей (число посетителей на одного специалиста (старшего специалиста) в день, площадь кабинета специалиста, норма убираемой площади на одного уборщика, норма охраняемой площади на одного охранника, заработная плата и т. д) и запишите функции, выражающие эти зависимости. Опишите зависимость затрат от числа посетителей.
2. Для улучшения качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива компания добавляет в него определенные химикаты. На 1000 л топлива добавляется не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей компания получает в виде продуктов А и В. В таблице приведено содержание добавок продуктах (в мг/л).
Продукт | Химические добавки | ||
X | Y | Z | |
A | 4 | 2 | 3 |
B | 5 | 1 | 1 |
Стоимость продукта А — 1,50 доллара за литр, а продукта В — 3 доллара за литр. Предложите свои рекомендации о наиболее экономном использовании химических добавок.
3. Компания производит два вида бензина: Regular и Premium. Они должны соответствовать требованиям по допустимому давлению (не более 6 и 8 единиц соответственно) и октановому числу (не менее 80 и 100 единиц соответственно). Оба вида бензина получаются смешением трех концентратов:
концентрат | октановое число | давление | поставки в неделю (литров) | цена (рублей) |
высший сорт | 108 | 4 | 32000 | 22 |
первый сорт | 90 | 10 | 20000 | 20 |
второй сорт | 73 | 5 | 38000 | 19 |
В неделю необходимо производить не менее 30000 литров бензина вида Regular. Отпускная цена за литр составляет 21 рубль для вида Regular и 24 рубля для вида Premium. Составьте и решите задачу о плане производства бензина с целью получения максимальной прибыли.
4. Компания должна создать резервный фонд для осуществления платежей в ближайшие годы (в тыс. рублей):
год | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
платежи | 190 | 215 | 240 | 285 | 315 | 460 |
Платежи производятся в начале каждого года. Средства из фонда можно разместить в банке на год под 4 % годовых (в любой момент времени) или в государственные облигации (только в начальный момент времени). Доступны два вида облигаций: стоимостью 1055 рублей и сроком погашения 3 года, приносящие 6,75 % годовых, и стоимостью 1000 рублей и сроком погашения 4 года, приносящие 5,125 % годовых. Дайте свои рекомендации о наиболее экономной организации фонда.
5. Компания имеет четыре сбытовые базы и четыре заказа, которые необходимо доставить различным потребителям. На каждой базе достаточно продукции для выполнения каждого из этих заказов. В таблице содержится информация о расстоянии между каждой базой и каждым потребителем.
Потребитель 1 | Потребитель 2 | Потребитель 3 | Потребитель 4 | |
База 1 | 68 | 72 | 75 | 83 |
База 2 | 56 | 60 | 58 | 63 |
База 3 | 38 | 40 | 35 | 45 |
База 4 | 47 | 42 | 40 | 45 |
Как следует распределить заказы по сбытовым базам, чтобы общая дальность транспортировки была минимальной?
6. У предприятия, выпускающего скоропортящуюся продукцию, есть три стратегии: сразу отправить потребителю, отправить на склад для хранения или подвергнуть дополнительной обработке для длительного хранения. Продукция может быть продана сразу, через некоторое время или после длительного периода времени. Получаемый доход в каждой из ситуаций указан в таблице.
Сразу | Некоторое время | Длительное время | |
Отправить сразу | 9 | 5 | 2 |
На склад | 6 | 8 | 7 |
Дополнительная обработка | 3 | 7 | 4 |
Составьте и решите задачу о выборе стратегий для получения наибольшего дохода.
7. На предприятии есть шесть автомобилей разных моделей. Необходимо в разные районы области перевести пять грузов. Затраты по перевозке каждого груза каждым автомобилем различны и приведены в таблице.
Автомобиль | Груз | ||||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
1 | 37 | 17 | 52 | 73 | 72 |
2 | 11 | 39 | 70 | 20 | 27 |
3 | 12 | 21 | 25 | 11 | 30 |
4 | 49 | 35 | 36 | 35 | 74 |
5 | 40 | 31 | 78 | 66 | 79 |
6 | 77 | 14 | 59 | 67 | 78 |
Как выбрать автомобиль для каждого вида груза, чтобы затраты на перевозку были минимальными?
8. Фирма имеет контракты на поставку кирпичей на ближайшие четыре недели в количестве 58000 шт., 36000 шт., 52000 шт. и 70000 шт. соответственно (доставка осуществляется один раз в конце недели). Из-за разницы цен на энергоносители в течение этих недель стоимость производства тысячи кирпичей меняется и составляет 840 рублей в первую неделю, 810 рублей во вторую, 780 в третью и 870 в четвертую. Из-за наличия других заказов фирма может произвести 60 тысяч кирпичей в первую неделю, 62 тысячи во вторую, 64 тысячи в третью и 66 тысяч в четвертую. Хранение произведенных неотправленных кирпичей обходится в 9 рублей за тысячу штук в неделю. Составьте наиболее экономный план производства и хранения продукции.
9. В гостинице 60 мест. При цене 600 рублей за место бывает занято 50 мест, а при цене 560 рублей за место оказываются занятыми 55 мест. Запишите закон спроса, считая его линейным, и зависимость выручки от цены. Составьте и решите задачу о максимальной выручке.
10. Транспортная компания должна перевезти примерно одинаковые грузы по пяти маршрутам на следующие расстояния:
Маршрут | a → A | b → B | c → C | d → D | e → E |
Расстояние (км) | 60 | 30 | 100 | 50 | 40 |
Для перевозки можно использовать три новых и два старых грузовика. Стоимость эксплуатации нового грузовика составляет 20 рублей за километр для пустого и 40 рублей за километр для загруженного грузовика. Для старого грузовика соответствующие стоимости суть 30 и 60 рублей. Расстояния от мест стоянки грузовиков до начальных пунктов перевозки приведены в таблице:
a | b | c | d | e | |
Новый 1 | 30 | 20 | 40 | 10 | 20 |
Новый 2 | 40 | 10 | 10 | 40 | 10 |
Новый 3 | 20 | 20 | 40 | 20 | 30 |
Старый 1 | 30 | 10 | 30 | 20 | 30 |
Старый 2 | 30 | 20 | 10 | 30 | 40 |
Как следует распределить маршруты между грузовиками, чтобы суммарная стоимость перевозки была наименьшей?
11. Фабрика выпускает два вида каш для завтрака. Используемые для производства обоих продуктов ингредиенты в основном одинаковы и, как правило, не являются дефицитными. Основным ограничением, накладываемым на объем выпуска, является наличие фонда рабочего времени в каждом из трех цехов фабрики. Управляющему производством необходимо разработать план производства на месяц. В приведенной ниже таблице указаны общий фонд рабочего времени и число человеко-часов, требуемое для производства тонны продукта.
Цех | Затраты времени, чел.-ч./т | Фонд времени | |
обычная | детская | ||
А: производство | 10 | 4 | 1000 |
Б: добавка приправ | 3 | 2 | 360 |
В: упаковка | 2 | 5 | 600 |
Доход от производства тонны обычной каши составляет £ 150, а от производства детской — £ 75. На настоящий момент нет никаких ограничений на возможные объемы продаж, имеется возможность продать всю произведенную продукцию. Сформулируйте и решите задачу линейного программирования о максимальном общем доходе фабрики за месяц. Какие рекомендации можно дать управляющему?
12. Продукцией городского молочного завода являются молоко, кефир и сметана, расфасованные в бутылки. На производство тонны молока, кефира и сметаны требуется соответственно 1010, 1010 и 9450 кг молока. При этом затраты рабочего времени при разливе тонна молока и кефира составляют 0,18 и 0,19 машино-часов. На расфасовке тонны сметаны заняты специальные автоматы в течение 3,25 часа. Всего для производства цельномолочной продукции завод может использовать 136000 кг молока. Основное оборудование может быть занято в течение 21,4 машино-часа, а автоматы по расфасовке сметаны — в течение 16,25 часа. Прибыль от реализации тонны молока, кефира и сметаны соответственно равна 6000, 4400 и 27200 руб. Завод должен ежедневно производить не менее 100 т молока, расфасованного в бутылки. Составьте и решите задачу о плане производства, приносящем заводу максимальную прибыль.
13. Три завода компании выпускают продукцию, которая перевозится на три склада и реализуется с них. Информация о количестве выпускаемой продукции, заказах складов и стоимости перевозки единицы продукции приведена ниже в таблице.
Склад 1 | Склад 2 | Склад 3 | Выпуск | |
Завод A | $8 | $5 | $6 | 120 |
Завод B | $15 | $10 | $14 | 80 |
Завод C | $3 | $9 | $10 | 80 |
Заказ | 150 | 80 | 50 |
Ранее продукция завода A отправлялась на склад 1, продукция завода B — на склад 2, а продукция завода C делилась между складом 1 (30 единиц) и складом 3 (50 единиц). Сформулируйте свои предложения по транспортировке продукции с заводов на склады.
Теория вероятностей
Используйте методы теории вероятностей для нахождения вероятностей событий и принятия решений в условиях неопределенности. Особо приветствуются содержательные выводы из полученных количественных результатов.
14. При игре в покер на костях используются пять шестигранных кубиков, грани которых помечены цифрами от 1 до 6. Все кубики бросаются одновременно. Цель игры — набрать очки за выполнение определенных комбинаций. Расположите следующие комбинации по возрастанию вероятности выпадения и укажите соответствующие вероятности:
l пара — две кости одинакового достоинства, например, 2, 2;
l две пары — две кости одного достоинства и две кости другого достоинства, например, 3, 3 и 6, 6;
l треугольник — три кости одинакового достоинства, например, 1, 1, 1;
l малый стрит — последовательность четырех костей 1, 2, 3, 4, либо 2, 3, 4, 5, либо 3, 4, 5, 6);
l большой стрит — последовательность пяти костей 1, 2, 3, 4, 5 или 2, 3, 4, 5, 6;
l фул — «пара» плюс «треугольник», например, 1, 1, 3, 3, 3;
l каре — четыре кости одинакового достоинства, например, 4, 4, 4, 4;
l покер — пять костей одинакового достоинства, например, 5, 5, 5, 5, 5;
l шанс — пять костей любого достоинства, например, 1, 2, 4, 3, 6.
15. Тест состоит из 100 вопросов, к каждому из которых предлагаются пять вариантов ответов (один из которых правильный). Предположим, что испытуемый пытается угадывать правильные ответы.
(1) Найдите наиболее вероятное число правильных ответов, математическое ожидание и стандартное отклонение.
(2) С помощью найденных в п. (1) числовых характеристик укажите интервал, в который попадают 95 % значений числа правильных ответов.
(3) Можно ли считать тест успешно пройденным, если число правильных ответов оказалось равным 30? почему?
16. Водитель должен привезти со склада в магазин 1000 бутылок пива. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,3 %.
l Найдите вероятность того, что при перевозке не разобьется ни одна бутылка.
l С какой вероятностью разбитых бутылок окажется три? шесть? не более шести?
l Водитель утверждает, что при перевозке разбились десять бутылок. Стоит ли верить его словам?
17. Международная компания страхования жизни пользуется в своей работе статистическими данными смертности. Ниже приведены цифры о количестве умерших по достижении определенного возраста:
Возраст | 0 | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
Доживают | 1000 | 981 | 966 | 944 | 912 | 880 | 748 | 525 | 261 | 45 | 0 |
(1) Используя таблицу, определите вероятность того, что
(a) выбранный наугад новорожденный умрет до достижения 60-летнего возраста;
(b) выбранный наугад 30-летний человек умрет до достижения 60-летнего возраста;
(c) выбранный наугад 50-летний человек умрет до достижения 60-летнего возраста.
Объясните, почему вероятности в одном случае больше, чем в другом.
(2) Корпорация собирается начать страхование 50-летних. Предполагается, что страхуемый делает единственный взнос в возрасте 50 лет и, если в течение 10 лет он умирает, то наследник получает ₤ 10000, если же нет, то компания ничего не платит. Каков должен быть размер взноса, чтобы компания не понесла убытки?
(3) Найдите вероятность того, что компания потерпит убыток, если компания назначит сумму выплаты в ₤ 2000, а не в ₤ 10000 и на условиях вопроса (2) страховой полис подпишут 12 человек?
В вышеприведенной таблице использовались данные по смертности 1986 года. Оцените надежность, целесообразность использования этих данных при расчетах страховых тарифов на перспективу.
18. Продовольственная компания планирует построить новый перерабатывающий завод. Необходимо сделать выбор между большим, средним и малым заводом. По предварительным оценкам если местный спрос будет высоким, то ежегодная прибыль составит 200 млн. руб. для большого завода, 100 млн. руб. для среднего и 25 млн. руб. для малого. Если же местные спрос будет низким, то ежегодно большой завод будет приносить 70 млн. руб. убытков, а средний и малый, соответственно, 50 и 80 млн. руб. прибыли.
l Какие еще предварительные оценки необходимо осуществить, чтобы компания могла определиться с выбором?
l Какой выбор лучше, если высокий и низкий местный спрос равновероятные?
l Какой выбор лучше, если вероятность высокого местного спроса вдвое выше вероятности низкого?
19. Страховая компания специализируется на страховании автомобилей стоимостью от $ 5000 до $ 15000. По данным этой компании вероятность ДТП с участием застрахованного автомобиля в течение года составляет 15 %. В случае наступления страхового случая с вероятностью 80 % компания выплачивает 20 % от стоимости автомобиля, с вероятностью 12 % — 60 % от стоимости и с вероятностью 8 % — полную стоимость. Сформулируйте свои предложения по стоимости годовой страховки.
20. Компания планирует выпуск новой продукции и оценивает возможности, связанные с незначительным и значительным обновлением производственных линий. При этом часть руководства считает, что никакое обновление не требуется, ссылаясь на неопределенность спроса. При значительном обновлении прибыль составит $100,000, если спрос будет высоким, но при низком спросе прогнозируются убытки в $90,000. Если провести незначительное обновление, то при высоком спросе ожидается прибыль в $40,000, а при низком — убытки в $20,000. Сформулируйте свои предложения, касающиеся обновления производственных линий.
21. Зеленщик покупает персики большими партиями. Учитывая скоропортящийся характер товара, он допускает, что 15% фруктов окажутся испорченными. Для проверки качества зеленщик выбирает 10 персиков, и если не более двух плодов окажутся испорченными, покупает всю партию. Найдите вероятность того, что партия товара будет куплена.
22. В среднем два станка в течение часа выходят из строя. Для устранения неполадок на заводе работает специальный инженер, однако ему приходится вызывать ассистента, если происходит более двух поломок в час. Если происходит более четырех поломок в час, инженера с ассистентом оказывается недостаточно для обеспечения бесперебойной работы станков. С какой вероятностью инженеру требуется помощь ассистента? С какой вероятностью не удается обеспечить бесперебойную работу станков? Сформулируйте свои предложению по совершенствованию службы специального инженера.
Список литературы
М., Математика для социологов и экономистов, М.: Физматлит, 2004. А., Введение в методы оптимизации (Часть 4: задачи и упражнения), Новосибирск, СибАГС, 1997.3. Е., Теория вероятностей и математическая статистика, М.: Высшая школа, 2003.
4. Е., Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике, М.: Высшая школа, 2004.
С., Математика для экономических специальностей, М.: Инфра-М, 1999. С. и П., Основы математики и ее приложения в экономическом образовании, М.: Дело, 2000. Ш. и др., Высшая математика для экономистов, М.: Банки и биржи, 1998.