Высшая математика Часть 2 методические указания и контрольные задания для студентов заочной и дистанционной форм обучения (стр. 2 )

г) Для отыскания интервалов возрастания и убывания функции найдем первую производную

Критических точек нет, так как . Интервалы знакопостоянства :

 

+ +

0

возрастает на промежутках и .

д) Для отыскания областей выпуклости и вогнутости найдем вторую производную

Критических точек нет. Интервалы знакопостоянства :

 

+ -

0

График функции вогнут на промежутке .

График является выпуклым на промежутке .

е) Исследуем теперь функцию f(x) в окрестности точки «склеивания» х = 0

Функция f(x) непрерывна в точке х = 0.

Построим график функции:

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

в замкнутой области, заданной системой неравенств

При отыскании наибольшего и наименьшего значения функции нескольких переменных в замкнутой области следует помнить, что точки, в которых достигается наибольшее и наименьшее значение, могут находиться: 1) внутри области; 2) на границах области; 3) в точках пересечения границ области.

1.  Найдем точки, подозреваемые на экстремум.

Решив систему, получим две точки . Точка принадлежит области. Точка - лежит на границе (точка А). Обе точки принадлежат области. Значение функции в этих точках.

2.  Исследуем границы области.
а) (АВ) имеет уравнение х = 0. На этой границе функция примет вид (зависит от одной переменной). Найдем точки, подозреваемые на экстремум, это точки, в которых или не существует при . Получили точку . Значение - уже вычислили.
б) Участок (ВС) имеет уравнение у = 0.

z зависит от одной переменной х, ее наибольшее и наименьшее значения находятся среди значений в критических точках.
при
не принадлежит участку (ВС). Найдем значение функции только в тех точках границы, которые принадлежат участку (ВС)

в) Участок границы (АС) имеет уравнение . На этом участке

.
Решая уравнение , т. е. , находим критические точки . Точки принадлежат участку границы (АС).
.

3.  Находим значение функции в точках пересечения границ:

4.  Наибольшее и наименьшее значение достигается в одной из найденных в процессе решения точек: . Сравнивая значения во всех этих точках, замечаем, что самое большое из них рано 12, а самое малое -1.
Ответ: .

Контрольные задания

Задание №1.  Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(x) на отрезке [a; b].

1.1.  f(x)=x4-x2+5; [-2; 2]	1.2.  f(x)=x+2; [0; 4]
1.3.  f(x)=x5-5x4+5x3; [-1; 2]	1.4.  f(x)=x3-3x2+6x; [-1; 1]
1.5.  f(x)=x4-8x2+3; [-2; 2]	1.6.  f(x)=(x3/3)-2x2+2; [-1; 2]
1.7.  f(x)=x3-1,5x2-6x+1; [-2; 0]	1.8.  f(x)=x4-8x2-8; [-1; 3]
1.9.  f(x)=x3-6x2+9x; [-1; 4]	1.10.  f(x)=3x-x3; [-2; 3]
1.11.  f(x)=x3-12x+7; [0; 3]	1.12.  f(x)=x5-(5/3)x3+2; [0; 2]
1.13.  f(x)=x+cosx; [0; p/2]	1.14.  f(x)=3x4-16x3+2; [-3; 1]
1.15.  f(x)=x3-3x+1; [1/2; 2]	1.16.  f(x)=x4+4x; [-2; 2]
1.17.  f(x)=x-sinx; [0; p/2]	1.18.  f(x)=81x-x4; [-1; 4]
1.19.  f(x)=3-2x2; [-1; 3]	1.20.  f(x)=x-sinx; [-p; p]
1.21.  f(x)=x-4; [0; 9]	1.22.  f(x)=x5+x4-3x3; [-1; 2]
1.23.  f(x)=x-2sinx; [0; p/2]	1.24.  f(x)=(x3/3)-4x-1; [-3; 1]

Задание №2.  Провести полное исследование и построить график функции.

2.1.	2.2.
2.3.	2.4.
2.5.	2.6.
2.7.	2.8.
2.9.	2.10.
2.11.	2.12.
2.13.	2.14.
2.15.	2.16.
2.17.	2.18.
2.19.	2.20.
2.21.	2.22.
2.23.	2.24.

Задание №3.  Провести полное исследование и построить график функции.