Вопросы к экзамену по математике, 1 курс, 2 семестр
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ, 1 КУРС, 2 СЕМЕСТР
1. Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
2. Свойства неопределенного интеграла.
3. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование.
4. Интегрирование заменой переменной.
5. Интегрирование по частям. Вывод формулы интегрирования по частям.
6. Примеры интегрирования по частям.
7. Простейшие рациональные дроби 4 типов. Разложение правильных рациональных дробей на простейшие рациональные дроби. Метод неопределенных коэффициентов.
8. Интегрирование простейших рациональных дробей.
9. Интегрирование иррациональных выражений.
10. Интегрирование тригонометрических выражений. Универсальная подстановка.
11. Некоторые частные случаи интегрирования тригонометрических выражений.
12. Понятие определенного интеграла. Необходимое условие интегрируемости.
13. Классы интегрируемых областей.
14. Основные свойства определенного интеграла.
15. Формула Ньютона-Лейбница.
16. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
17. Геометрические приложения определенного интеграла. Вычисление площади криволинейной трапеции (рассмотреть различные случаи), длины дуги кривой, объема тел вращения и т. д. в п. д.с. к.
18. Геометрические приложения определенного интеграла в случае параметрического задания функции.
19. Геометрические приложения определенного интеграла в случае задания функции в полярной системе координат.
20. Физические приложения определенного интеграла. Вычисление работы переменной силы. Вычисление пройденного пути.
21. Несобственные интегралы. Интегралы с бесконечными пределами. Интеграл Дирихле.
22. Несобственные интегралы. Интегралы от неограниченных функций.
23. Точечные множества в n-мерном пространстве.
24. Понятие функции нескольких переменных. Область определения функции нескольких переменных. Линии уровня функции двух переменных.
25. Частные производные функции многих переменных. Понятия дифференцируемой функции и полного дифференциала.
26. Частные производные высших порядков функции многих переменных. Теорема о смешанных частных производных.
27. Производная по направлению.
28. Градиент функции. Физический смысл градиента.
29. Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.
30. Понятие дифференциального уравнения. Понятие решения дифференциального уравнения, общего и частного решения. Задача Коши.
31. Дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.
32. Линейные дифференциальные уравнения. Решение линейных дифференциальных уравнений методом вариации постоянной или методом подстановки y=u·v.
33. Дифференциальные уравнения Бернулли.
34. Однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка.
35. Дифференциальные уравнения 1-го порядка в полных дифференциалах.
36. Дифференциальные уравнения высших порядков. Типы уравнений, допускающих понижения порядка.
37. Дифференциальные уравнения второго порядка. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
38. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
Лектор
