Методы математической физики

Методы математической физики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Тюменский государственный университет»

Тобольский педагогический институт им.

филиал ТЮМГУ

«УТВЕРЖДАЮ»:

Директор

______________/ /

«___» ________201__ г.

МЕТОДЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Учебно-методический комплекс. Рабочая программа

для студентов направления 44.03.05 Педагогическое образование

профиля подготовки «физика, информатика»

форма обучения – очная

Тобольск 2016

1. Цели и задачи дисциплины

Цель дисциплины – Формирование знаний математических методов, используемых в фундаментальных физических теориях.

Задачи дисциплины:

-  дать наиболее полный объём информации об основных математических моделях курса «Методы математической физики»;

-  развивать математическую культуру студентов в плане прикладной направленности обучения.

- познакомить с современными направлениями развития теории уравнений математической физики;

Дисциплина ориентирует на учебно-воспитательный и научно-методический виды профессиональной деятельности, ее изучение способствует решению следующих типовых задач профессионально деятельности:

Выпускник по направлению подготовки подготовлен к решению следующих задач профессиональной деятельности.

1)  научно-исследовательская и научно-изыскательская деятельность:

- применение основных понятий, идей и методов фундаментальных математических дисциплин для решения базовых задач;

- решение математических проблем, соответствующих квалификации, возникающих при проведении научных и прикладных исследований;

- подготовка обзоров, аннотаций, составление рефератов и библиографии по тематике проводимых исследований;

- участие в работе семинаров, конференций и симпозиумов, оформление и подготовка публикаций по результатам проводимых научно-исследовательских работ;

2)  производственно-технологическая деятельность:

- использование математических методов обработки информации, полученной в результате экспериментальных исследований или производственной деятельности;

- применение численных методов решения базовых математических задач и классических задач естествознания в практической деятельности;

- сбор и обработка данных с использованием современных методов анализа информации и вычислительной техники;

3)  организационно-управленческая деятельность:

- применение математических методов экономики, актуарно-финансового анализа и защиты информации;

- создание эффективных систем внедрения в практику результатов научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ;

- применение методов теории вероятностей и математической статистики для принятия решений в условиях неопределенности;

Выпускник по направлению подготовки подготовлен для работы в научно-исследовательских и проектно-конструкторских центрах, государственных органах управления, организациях различных форм собственности в качестве специалистов, использующих методы прикладной математики и компьютерные технологии.

Курс «Методы математической физики» имеет также общеобразовательное, общекультурное и прикладное значение, способствует формированию научного мировоззрения студентов.

1.  Требования к уровню усвоения содержания дисциплины

В результате изучения дисциплины студент должен

знать:

- виды задач и уравнения математической физики;

- физический смысл уравнений математической физики;

основные этапы развития уравнений математической физики;

- прикладной характер дисциплины;

уметь:

- решать уравнения с частными производными, используя разнообразный математический аппарат;

- использовать точные и приближенные формулы для решения физических задач математическими методами;

- доказывать основные свойства и теоремы теории дифференциальных уравнений;

- решать задачи, относящиеся к этому курсу;

- применять методы решения дифференциальных и интегральных уравнений к решению физических задач;

владеть:

- основными понятиями уравнений математической физики;

- математическими методами мышления и исследования;

- системой основных математических структур и аксиоматическим методом;

- методологией построения математических моделей физических задач;

иметь:

- целостное представление о математике, как науке;

- представление о роли и месте уравнений математической физики в современном мире и в системе наук;

- представление о возможностях использования математических знаний в работе учителя математики;

- представление об основных тенденциях развития теории дифференциальных уравнений.

- осознавать преемственную связь между такими разделами как: ряды, ряды Фурье, теория функций комплексного переменного, интегральные преобразования, теорией линейных и нелинейных операторов, теорией обыкновенных дифференциальных уравнений.

3. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ

Вид учебной работы	Всего часов	5 семестр	6 семестр
Общая трудоемкость дисциплины	200	128	72
Аудиторные занятия	90	54	36
Лекции	54	36	18
Практические занятия	36	18	18
Самостоятельная работа студентов: самостоятельное изучение теоретического материала индивидуальное расчетное задание коллоквиум подготовка к контрольной работе подготовка к зачету, экзамену	106 60 20 16 30	60 30 10 10 10	46 30 10 6 20
Контрольные работы	Одна		Одна
Вид итогового контроля		зачет	экзамен

4. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

4.1. Разделы дисциплины и виды учебных занятий

а) дневное отделение

№ п/п	Раздел дисциплины	Всего часов	Лекции	ПР
1.	Ряды Фурье. Интеграл Фурье	4	2	2
2.	Дифференциальные уравнения в частных производных.	10	4	6
3.	Вывод основных уравнений математической физики	2	2	0
4.	Линейные дифференциальные уравнения в частных производных, их классификация	8	4	4
5.	Волновое уравнение. Задача Коши для волнового уравнения. Смешанная задача	8	4	4
6.	Общая схема метода Фурье. Метод Фурье для уравнений колебания струны	4	2	2
7.	Задачи, приводящие к уравнению Пуассона и Лапласа. Формула Грина	8	4	4
8.	Гармонические функции, их свойства. Теорема Кельвина. Фундаментальное решение уравнения Лапласа	4	2	2
9.	Функция Грина задачи Дирихле	4	2	2
10	Построение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Принцип максимума	4	2	2
11	.Элементы теории потенциала	4	2	2
12	Корректность постановки задач математической физики	4	2	2

4.2. Содержание разделов дисциплины

1. Ряды Фурье. Интеграл Фурье

Ортогональные системы функций, ряды Фурье, теорема Дирихле, интеграл Фурье.

2. Дифференциальные уравнения в частных производных

Основные понятия об уравнениях в частных производных, линейные операторы. Дифференциальные уравнения в частных производных I порядка (линейные однородные и квазилинейные).

3. Вывод основных уравнений математической физики

Уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности, Лапласа. Постановка краевых задач, их физическая интерпретация.

4. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных, их классификация

Канонический вид линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ) с частными производными II порядка. Классификация ЛДУ с частными производными II порядка. Замена независимых переменных в уравнениях II порядка с двумя переменными. Исключение в уравнениях младших производных. Теорема Коши-Ковалевской. Понятие характеристического направления, характеристики.

5. Волновое уравнение. Задача Коши для волнового уравнения. Смешанная задача

Единственность решения задачи Коши и смешанной задачи для волнового уравнения. Существование решения, обобщенное решение. Вывод формул Кирхгофа и Пуассона и их исследование. Метод Даламбера решения волнового уравнения. Пространственно-временная интерпретация формулы Даламбера.

6. Общая схема метода Фурье. Метод Фурье для уравнений колебания струны

Решение краевых задач для волнового уравнения методом Фурье. Задача Штурма-Лиувилля.

7. Задачи, приводящие к уравнению Пуассона и Лапласа. Формула Грина Фундаментальное решение оператора Лапласа.

8. Гармонические функции, их свойства. Теорема Кельвина. Фундаментальное решение уравнения Лапласа

Примеры гармонических функций. Теорема Кельвина. Внутренний принцип экстремума, свойство сравнения. Задача Дирихле, единственность и устойчивость решения, теорема о среднем значении, аналитичность. Теорема Лиувилля. Первая и вторая теорема Гарнаха.

9. Функция Грина задачи Дирихле

Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре, единственность решения внешней задачи Дирихле, обобщенные решения краевых задач. Формула Грина для оператора Лапласа. Свойства функции Грина. Решение задачи Дирихле в произвольной области методом Грина.

10. Построение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Принцип максимума

Уравнение теплопроводности, принцип максимума в ограниченной области и единственность решения задачи Коши. Построение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

11. Элементы теории потенциала.

Объёмный потенциал, потенциал простого слоя, двойного слоя. Применение потенциалов к решению краевых задач (внешняя задача Дирихле и Неймана). Краевые задачи для уравнения Пуассона.

12. Корректность постановки задач математической физики

Корректная задача. Корректность краевых задач математической физики

4.2.1. Лекционный курс

семестр	№ лекции	Раздел, тема учебного курса, содержание лекции	Кол-во часов
5	1.	Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Ортогональные системы функций, ряды Фурье, теорема Дирихле, интеграл Фурье.	2
	2	Дифференциальные уравнения в частных производных. Основные понятия об уравнениях в частных производных, линейные операторы.	2
	3	Дифференциальные уравнения в частных производных. Дифференциальные уравнения в частных производных I порядка (линейные однородные и квазилинейные).	1
	4	Вывод основных уравнений математической физики. Уравнение колебаний струны, уравнение теплопроводности, Лапласа. Постановка краевых задач, их физическая интерпретация.	3
	5	Линейные дифференциальные уравнения в частных производных, их классификация. Канонический вид линейных дифференциальных уравнений (ЛДУ) с частными производными II порядка. Классификация ЛДУ с частными производными II порядка.	2
	6	Линейные дифференциальные уравнения в частных производных, их классификация. Замена независимых переменных в уравнениях II порядка с двумя переменными. Исключение в уравнениях младших производных. Теорема Коши-Ковалевской. Понятие характеристического направления, характеристики.	2
	7	Волновое уравнение. Задача Коши для волнового уравнения. Смешанная задача. Единственность решения задачи Коши и смешанной задачи для волнового уравнения. Существование решения, обобщенное решение. Вывод формул Кирхгофа и Пуассона и их исследование.	2
	8	Волновое уравнение. Задача Коши для волнового уравнения. Смешанная задача. Метод Даламбера решения волнового уравнения. Пространственно-временная интерпретация формулы Даламбера.	2
	9	Общая схема метода Фурье. Метод Фурье для уравнений колебания струны. Решение краевых задач для волнового уравнения методом Фурье. Задача Штурма-Лиувилля.	2
	10	Задачи, приводящие к уравнению Пуассона и Лапласа. Формула Грина. Фундаментальное решение оператора Лапласа.	2
	11	Задачи, приводящие к уравнению Пуассона и Лапласа. Формула Грина. Фундаментальное решение оператора Лапласа.	2
	12	Гармонические функции, их свойства. Теорема Кельвина. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Примеры гармонических функций. Теорема Кельвина. Внутренний принцип экстремума, свойство сравнения. Задача Дирихле, единственность и устойчивость решения, теорема о среднем значении, аналитичность. Теорема Лиувилля. Первая и вторая теорема Гарнаха.	2
	13	Функция Грина задачи Дирихле. Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре, единственность решения внешней задачи Дирихле, обобщенные решения краевых задач. Формула Грина для оператора Лапласа. Свойства функции Грина. Решение задачи Дирихле в произвольной области методом Грина.	2
	14	Построение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Принцип максимума. Уравнение теплопроводности, принцип максимума в ограниченной области и единственность решения задачи Коши. Построение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.	2
	15	Элементы теории потенциала. Объёмный потенциал, потенциал простого слоя, двойного слоя. Применение потенциалов к решению краевых задач (внешняя задача Дирихле и Неймана). Краевые задачи для уравнения Пуассона.	2
	16	Корректность постановки задач математической физики. Корректная задача. Корректность краевых задач математической физики.	2

4.2.2. Практические занятия

№ занятия	Наименование темы, практического занятия	Раздел, тема дисциплины	Кол-во часов
1	Ортогональные системы функций, ряды Фурье, теорема Дирихле, интеграл Фурье.	Ряды Фурье. Интеграл Фурье	2
2	Основные понятия об уравнениях в частных производных, линейные операторы.	Дифференциальные уравнения в частных производных	2
3	Дифференциальные уравнения в частных производных I порядка (линейные однородные и квазилинейные).	Дифференциальные уравнения в частных производных	2
4	Дифференциальные уравнения в частных производных I порядка (линейные однородные и квазилинейные).	Дифференциальные уравнения в частных производных	2
5	Канонический вид линей-ных дифференциальных уравнений (ЛДУ) с частными производными II порядка. Классификация ЛДУ с частными производными II порядка. Замена независимых переменных в уравнениях II порядка с двумя переменными.	Линейные дифференци-альные уравнения в частных производных, их класси-фикация	2
5	Исключение в уравнениях младших производных. Теорема Коши-Ковалевской. Понятие характеристического направления, характеристики.	Линейные дифференци-альные уравнения в частных производных, их классифи-кация	2
6	Единственность решения задачи Коши и смешанной задачи для волнового уравнения. Существование решения, обобщенное решение. Вывод формул Кирхгофа и Пуассона и их исследование.	Волновое уравнение. Задача Коши для волнового уравнения. Смешанная задача	2
7	Метод Даламбера решения волнового уравнения. Пространственно-временная интерпретация формулы Даламбера.	Волновое уравнение. Задача Коши для волнового уравнения. Смешанная задача	2
8	Решение краевых задач для волнового уравнения методом Фурье. Задача Штурма-Лиувилля.	Общая схема метода Фурье. Метод Фурье для уравнений колебания струны	2
9	Фундаментальное решение оператора Лапласа.	Задачи, приводящие к уравнению Пуассона и Лапласа. Формула Грина	2
10	Фундаментальное решение оператора Лапласа.	Задачи, приводящие к уравнению Пуассона и Лапласа. Формула Грина	2
11	Примеры гармонических функций. Теорема Кельвина. Внутренний принцип экстремума, свойство сравнения. Задача Дирихле, единственность и устойчивость решения, теорема о среднем значении, аналитичность. Теорема Лиувилля. Первая и вторая теорема Гарнаха.	Гармонические функции, их свойства. Теорема Кельвина. Фундаментальное решение уравнения Лапласа	2
12	Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре, единственность решения внешней задачи Дирихле, обобщенные решения краевых задач. Формула Грина для оператора Лапласа. Свойства функции Грина. Решение задачи Дирихле в произвольной области методом Грина.	Функция Грина задачи Дирихле	2
13	Уравнение теплопровод-ности, принцип максимума в ограниченной области и единственность решения задачи Коши. Построение решения задачи Коши для уравнения теплопровод-ности.	Построение задачи Коши для уравнения теплопровод-ности. Принцип максимума	2
14	Объёмный потенциал, потенциал простого слоя, двойного слоя. Приме-нение потенциалов к решению краевых задач (внешняя задача Дирихле и Неймана). Краевые задачи для уравнения Пуассона.	Элементы теории потен-циала	2
15	Корректная задача. Корректность краевых задач математической физики	Корректность постановки задач математической физики	2

4.2.3. Содержание самостоятельной работы студентов

Раздел и темы рабочей программы для само-стоятельного изучения	Перечень домашнего здания и других вопросов для само-стоятельного изучения	Срок выполнения	Кол-во часов
Ряды Фурье. Интеграл Фурье	Теорема Дирихле.
Дифференциальные уравнения в частных производных	Линейные операторы.
Дифференциальные уравнения в частных производных	Линейные однородные
Дифференциальные уравнения в частных производных	Квазилинейные
Линейные дифференциальные уравнения в частных производных, их классификация	Классификация ЛДУ с частными производными II порядка.
Линейные дифференциальные уравнения в частных производных, их классификация	Теорема Коши-Ковалевской.
Волновое уравнение. Задача Коши для волнового уравнения. Смешанная задача	Вывод формул Кирхгофа и Пуассона и их исследование.
Волновое уравнение. Задача Коши для волнового уравнения. Смешанная задача	Пространственно-временная интерпретация формулы Даламбера.
Общая схема метода Фурье. Метод Фурье для уравнений колебания струны	Задача Штурма-Лиувилля.
Задачи, приводящие к уравнению Пуассона и Лапласа. Формула Грина	Фундаментальное решение оператора Лапласа.
Задачи, приводящие к уравнению Пуассона и Лапласа. Формула Грина	Фундаментальное решение оператора Лапласа.
Гармонические функции, их свойства. Теорема Кельвина. Фундаментальное решение уравнения Лапласа	Теорема Кельвина. Задача Дирихле, Теорема Лиувилля. Первая и вторая теорема Гарнаха.
Функция Грина задачи Дирихле	Формула Грина для оператора Лапласа. Свойства функции Грина.		48 часов
Построение задачи Коши для уравнения теплопроводности. Принцип максимума	Построение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Элементы теории потенциала	Краевые задачи для уравнения Пуассона.
Корректность постановки задач математической физики	Корректность краевых задач математической физики

4.2.4.Лабораторный практикум

Лабораторный практикум не предусмотрен.

  5. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

5.1. Рекомендуемая литература

1. Рекомендуемая литература (основная)

1.  , Козловская с частными производными и математические модели в экономике. Курс лекций. Изд-е 2-е, перераб и доп. – М.: Едитфиал ЦРСС, 2004.

2.  Сабитов математической физики: Учебное пособие для вузов. – М.: Высш. шк., 2003. – 255 с.

2. Рекомендуемая литература (дополнительная):

1.  , Левин математической физики. – М., 1969.

2.  Петровский об уравнениях с частными производными. – М., 1961.

3. Перечень обучающих, контролирующих компьютерных программ, диафильмов, кино - и телефильмов, мультимедиа и т. п.

6. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Компьютерный класс

7. Содержание текущего и промежуточного контроля

7.1. Перечень примерных контрольных вопросов и заданий для самостоятельной работы

1.  Привести математическую формулировку задачи о распространении тепла в тонком однородном стержне длиной l=6, боковая поверхность и концы которого теплоизолированы, а начальное распределение температуры задаётся формулой .

2.  Решить методом Фурье задачу Коши для уравнения теплопроводности с начальным условием .

3.  По полуограниченной струне бежит волна при . Найти колебания струны при в случае, когда конец струны закреплён .

4.  Найти решение уравнения Лапласа в полуплоскости , принимающее при граничные значения , если и , если .

7.2. Примерный перечень вопросов к зачёту (экзамену) по всему курсу

1.  Основные понятия дифференциальных уравнений в частных производных.

2.  Классификация дифференциальных уравнений в частных производных 2-го порядка.

3.  Вывод уравнения колебаний струны.

4.  Вывод уравнения теплопроводности.

5.  Начальные, граничные условия.

6.  Краевые задачи для стационарных уравнений.

7.  Общая схема метода Фурье.

8.  Решение краевой задачи для волнового уравнения методом Фурье.

9.  Решение методом Фурье первой смешанной задачи для однородного уравнения теплопроводности.

10.  Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям с частными производными.

11.  Преобразование Фурье, его свойства.

12.  Применение преобразования Фурье для решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.

13.  Метод Даламбера решения волнового уравнения, пространственно-временная интерпретация формулы Даламбера.

14.  Метод характеристик решения уравнений с частными производными 1-го порядка.

15.  Характеристики гармонических уравнений.

16.  Гармонические функции и их свойства.

17.  Функция Грина. Примеры.

18.  Метод функций Грина решения задачи Дирихле.

19.  Задача Дирихле для внешности круга и полуплоскости.

20.  Применение потенциалов к решению краевых задач.

21.  Задача Неймана и Пуанкаре для уравнения Пуассона.

22.  Корректность постановки задач математической физики.

7.3. Примерная тематика рефератов и курсовых работ

1.  Обобщённые функции

2.  Решение уравнения вынужденных колебаний однородной струны

3.  Метод Римана для построения решения задачи Коши.

4.  Гармонические функции и их применение.

5.  Задача Неймана и Пуанкаре для уравнения Пуассона.

6.  Метод Грина задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа.

7.  Уравнения смешанного типа.

8.  Задача Штурма-Лиувилля.

9.  Корректность постановки задач математической физики.

10.  Методы решений уравнений и систем уравнений с частными производными 1-го порядка.

11.  Эллиптические задачи.

12.  Преобразование Фурье.

7.4.Методика проведения контрольных мероприятий

По указанной дисциплине предусмотрены коллоквиум, контрольные работы и экзамен.

При подготовке к контрольной работе предлагается студентам изучить литературу, в частности повторить все формулы: дифференциального уравнения, методов решения диф. уравнений, частных производных.

9. Учебная практика по дисциплине

Не предусмотрена