Основы векторного и тензорного анализа (стр. 11 )

по индексам i, j. Учитывая, что величина свертки единичного тензора ,

получим .

7.5 Векторное поле имеет компоненты: . Найти компоненты тензора девиации

Решение задачи 7.5 Вычислим значения всех частных производных . Получим: , , , , , , , , . С учетом значения величины

свертки , найдем компоненты тензора девиации

.

7.6 Задано векторное поле в двумерном пространстве: . Найти компоненты тензора девиации в точках: a) x=1, y=2; b) x=0, y=1. Найти собственные значения и собственные векторы тензора девиации в этих точках.

Решение задачи 7.6 В двумерном пространстве тензор девиации имеет вид:

. Индексы i, j в данном случае принимают значения только 1 и 2. След единичного тензора , отсюда следует что . Вычислим значения всех частных производных . Получим: , , , . Свертка .

Компоненты тензора девиации . В точке с координатами компоненты , . Собственные значения данного тензора находим как корни уравнения , или , отсюда .

Подставив поочередно найденные собственные значения в уравнение, определяющее компоненты собственных векторов, , найдем . Собственные векторы находятся с точностью до общего множителя, поэтому можно задать значение компоненты , что дает значение компоненты . Итого, векторы с компонентами

являются собственными векторами тензора девиации в заданной точке двумерного пространства и принадлежат собственным значениям , соответственно.

7.7 Доказать обобщенную теорему Остроградского-Гаусса для тензорного поля N-го ранга.

Указание: Умножить обе части равенства (7.1) на произвольный постоянный

тензор ранга (N-1) и выполнить свертку по индексам .

ЛИТЕРАТУРА

1. И. В.Савельев. Основы теоретической физики. Т.1.- М.: Наука, 1975.

2. В. Курс обшей физики, т. 2. - М.: Наука, 1988.

3. В. В.Батыгин, И. Н.Топтыгин. Сборник задач по электродинамике.-

М.: Наука, 1970.

4. А. И.Борисенко, И. Е.Тарапов. Векторный анализ и начала тензорного

исчисления.- Харьков: Вища школа, 1986.

5. П. К. Рашевский. Риманова геометрия и тензорный анализ - М.: Наука, 1967.

Основные порталы (построено редакторами)

Домашний очаг Дом • Дача • Садоводство • Дети • Активность ребенка • Игры • Красота • Женщины • (Беременность) • Семья • Хобби Здоровье: • Анатомия • Болезни • Вредные привычки • Диагностика • Народная медицина • Первая помощь • Питание • Фармацевтика История: СССР • История России • Российская Империя Окружающий мир: Животный мир • Домашние животные • Насекомые • Растения • Природа • Катаклизмы • Космос • Климат • Стихийные бедствия Справочная информация Документы • Законы • Извещения • Утверждения документов • Договора • Запросы предложений • Технические задания • Планы развития • Документоведение • Аналитика • Мероприятия • Конкурсы • Итоги • Администрации городов • Приказы • Контракты • Выполнение работ • Протоколы рассмотрения заявок • Аукционы • Проекты • Протоколы • Бюджетные организации Муниципалитеты • Районы • Образования • Программы Отчеты: • по упоминаниям • Документная база • Ценные бумаги Положения: • Финансовые документы Постановления: • Рубрикатор по темам • Финансы • города Российской Федерации • регионы • по точным датам Регламенты Термины: • Научная терминология • Финансовая • Экономическая Время: • Даты • 2015 год • 2016 год Документы в финансовой сфере • в инвестиционной • Финансовые документы - программы

Техника Авиация • Авто • Вычислительная техника • Оборудование • (Электрооборудование) • Радио • Технологии • (Аудио-видео) • (Компьютеры) Общество Безопасность • Гражданские права и свободы • Искусство • (Музыка) • Культура • (Этика) • Мировые имена • Политика • (Геополитика) • (Идеологические конфликты) • Власть • Заговоры и перевороты • Гражданская позиция • Миграция • Религии и верования • (Конфессии) • Христианство • Мифология • Развлечения • Масс Медиа • Спорт (Боевые искусства) • Транспорт • Туризм Войны и конфликты: Армия • Военная техника • Звания и награды Образование и наука Наука: Контрольные работы • Научно-технический прогресс • Педагогика • Рабочие программы • Факультеты • Методические рекомендации • Школа • Профессиональное образование • Мотивация учащихся Предметы: Биология • География • Геология • История • Литература • Литературные жанры • Литературные герои • Математика • Медицина • Музыка • Право • Жилищное право • Земельное право • Уголовное право • Кодексы • Психология (Логика) • Русский язык • Социология • Физика • Филология • Философия • Химия • Юриспруденция

Мир Регионы: Азия • Америка • Африка • Европа • Прибалтика • Европейская политика • Океания • Города мира Россия: • Москва • Кавказ • Регионы России • Программы регионов • Экономика Бизнес и финансы Бизнес: • Банки • Богатство и благосостояние • Коррупция • (Преступность) • Маркетинг • Менеджмент • Инвестиции • Ценные бумаги: • Управление • Открытые акционерные общества • Проекты • Документы • Ценные бумаги - контроль • Ценные бумаги - оценки • Облигации • Долги • Валюта • Недвижимость • (Аренда) • Профессии • Работа • Торговля • Услуги • Финансы • Страхование • Бюджет • Финансовые услуги • Кредиты • Компании • Государственные предприятия • Экономика • Макроэкономика • Микроэкономика • Налоги • Аудит Промышленность: • Металлургия • Нефть • Сельское хозяйство • Энергетика Строительство • Архитектура • Интерьер • Полы и перекрытия • Процесс строительства • Строительные материалы • Теплоизоляция • Экстерьер • Организация и управление производством