Основы векторного и тензорного анализа (стр. 3 )

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

Компоненты тензора второго ранга естественно объединяются в квадратную матрицу со следующим законом преобразования матричных элементов:

или ,

где и квадратные матрицы с матричными элементами и .

Очевидно, что вектор является тензором первого ранга, а скаляр - нулевого. Ранг тензора также называют тензорной размерностью, или валентностью.

Задачи.

2.1 Найти матрицу преобразования системы декартовых координат на плоскости при повороте на угол .

Решение задачи 2.1 Матричные элементы искомой матрицы вычисляются как скалярные произведения , здесь индексы i, j принимают только два значения: 1 или 2. Так как все орты по определению имеют единичные модули, каждое скалярное произведение равно косинусу угла между соответствующими ортами. Нарисуйте на листе бумаги пояснительный чертеж и убедитесь, что углы между парами базисных орт и одинаковы и равны углу поворота . Поэтому . Угол между ортами равен , и соответственно . Угол между ортами равен , поэтому .

2.1.1. Убедиться, что определитель матрицы равен 1.

2.1.2 Убедиться, что матрица ортогональна, т. е. , где -транспонированная матрица, а -единичная матрица.

2.1.3 Убедиться, что - матрица поворота на угол совпадает с произведением матриц и , которые являются матрицами поворота на углы и соответственно.

2.1.4. Убедиться, что матрица поворота на угол совпадает с матрицей , где - матрица поворота на угол .

2.2 Найти матрицу поворота в трехмерном пространстве относительно заданной координатной оси на угол .

2.2.1 Вокруг оси Oz

Решение задачи 2.2.1 Очевидно, что базисные орты , повернутой вокруг оси Oz системы координат, лежат в Oxy плоскости исходной координатной системы. Выше (см. задачу 2.1) мы уже вычислили скалярные произведения для i, j=1 и 2. Фактически мы нашли соответствующие им матричные элементы искомой матрицы повороты в трехмерном пространстве: , . Для нахождения остальных матричных элементов заметим, что базисные орты ортогональны орту , поэтому . После выполнения поворота вокруг оси Oz направление аналогичной оси новой системы координат не изменится, т. е. орт . Оставшиеся матричные элементы вычисляются тривиально: (j=1,2,3). Выпишем явный вид матрицы поворота вокруг оси Oz:

2.2.2 Вокруг оси Ox

Решение задачи 2.2.2 во многом аналогично решению предыдущей задачи.

Приведем в качестве ответа явный вид искомой матрицы поворота:

2.2.3 Вокруг оси Oy

2.3 Найти матрицу поворота в трехмерном пространстве на углы Эйлера. Углы Эйлера определены следующим образом: вначале проводится поворот на угол вокруг оси , затем производится поворот на угол вокруг новой оси , а после этого производится поворот на угол вокруг новой оси .

2.3.1 Доказать, что матрица может быть записана в виде произведения трех матриц , где матрица соответствует повороту на угол вокруг оси , матрица соответствует повороту на угол вокруг новой оси , матрица соответствует повороту на угол вокруг новой оси .

Решение задачи 2.3.1 Рассмотрим вектор с компонентами , заданными в исходной системе координат . Объединим его компоненты в матрицу, состоящую из одного столбца (в так называемый вектор-столбец). Компоненты этого вектора в новой системе координат , повернутой вокруг оси на угол , вычислим как матричное произведение . Давайте рассматривать повернутую систему координат как новую исходную, и совершим далее поворот вокруг ее оси на угол . Компоненты вектора в новой, повернутой системе координат вычислим как матричное произведение .