Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
Основы векторного и тензорного анализа
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
А. А. НОВАКОВИЧ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
ОСНОВЫ ВЕКТОРНОГО И ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
Часть I I
для студентов бакалавриата
Ростов-на-Дону
2007
Учебно-методическое пособие разработано кандидатом физико-математических наук, доцентом кафедры теоретической и вычислительной физики ЮФУ А. А. Новаковичем.
Ответственный редактор доктор физико-математических наук,
профессор Л. А. Бугаев.
Компьютерный набор и верстка А. А. Новакович.
Печатается в соответствии с решением кафедры теоретической и
вычислительной физики физического факультета ЮФУ,
протокол № 12 от 27 ноября 2007 г.
СОДЕРЖАНИЕ:
1. Криволинейные системы координат .…………………………………стр. 4
2. Векторы и тензоры. Их преобразования при поворотах
системы координат ………………………………………...…………..стр. 9
3. Действия над тензорами ………………………………………………стр. 18
4. Свойства тензоров второго ранга ……….…………………………….стр. 25
5. Символ Леви-Чивита ………………………….………………………стр. 33
6. Преобразование тензорных величин при инверсии ………..………..стр. 37
7. Элементы тензорного анализа …………….………………………….стр. 42
Литература………………………………………………………………стр. 47
1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ.
Нередко удобно определять положение точки в пространстве не декартовыми координатами, а тремя другими величинами 
, 
, 
, более соответствующими характеру решаемой задачи. Эти величины называют криволинейными координатами. Если наложить должные ограничения на область изменения криволинейных координат, то можно добиться взаимно однозначного соответствия между переменными 
и 
: 
или 
, 
. Поверхности, описываемые уравнением 
, называются координатными. Линии пересечения двух координатных поверхностей называются координатными линиями. Понятно, что вдоль координатной линии изменяется только одна из трех криволинейных координат. Если координатные линии в каждой точке пространства взаимно перпендикулярны, криволинейные координаты называются ортогональными. Примерами ортогональных криволинейных координат являются сферическая система координат 
и цилиндрическая система координат 
.
Введем в каждой точке пространства орты 
, направленные по касательным к координатным линиям в сторону возрастания соответствующих переменных 
. В ортогональных координатах эти орты взаимно перпендикулярны: 
Определим частную производную радиус-вектора 
по координате . Приращение вектора 
при малом изменении переменной направлено вдоль орта 
: 
,
так что 
Положительные величины 
называются коэффициентами Ламе.
Учтя, что 
, получим: 
. Отсюда 
.
Квадрат расстояния 
между двумя бесконечно близкими точками выражается через квадраты коэффициентов Ламе по формуле:
Если провести через две бесконечно близкие точки координатные поверхности, то они ограничат бесконечно малый прямоугольный параллелепипед с длинами ребер 
. Грани этого параллелепипеда имеют площади: 
, 
, 
,
а объем выражается формулой: 
.
В ортогональной криволинейной системе координат выражение для градиента скалярного поля 
имеет следующий вид:
(1.1)
Дивергенция векторного поля 
в ортогональной криволинейной системе координат определяется по формуле:
(1.2)
Ротор векторного поля в ортогональной криволинейной системе координат можно записать через определитель:
(1.3)
Результат действия оператора Лапласа на скалярное поле определяется, как 
=div grad. Из приведенных выше формул для градиента и дивергенции непосредственно следует его выражение в криволинейной ортогональной системе координат.
. (1.4)
Задачи.
1.1 Для сферической и цилиндрической систем координат найти уравнения координатных поверхностей и координатных линий.
1.2 Записать квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в сферической системе координат. (Для сферической системы координат 
, 
, 
).
Решение задачи 1.2 Искомая величина равна сумме квадратов полных дифференциалов декартовых координат 
. Для их вычисления используем формулу 
.
В результате получим 
. Раскроем скобки и упростим выражение. Итого: 
1.3 Записать квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками в цилиндрической системе координат. (Для цилиндрической системы координат 
, 
, 
).
Решение задачи 1.3 Вычислим сумму квадратов полных дифференциалов декартовых координат: 
1.4 Найти коэффициенты Ламе для сферической и цилиндрической систем координат.
Решение задачи 1.4 Искомые значения коэффициентов Ламе легко найти, используя их определение 
и ответы к задачам 1.2 и 1.3.
Для сферической системы координат:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 |
Основные порталы (построено редакторами)