Дискретная случайная величина (стр. 3 )

Найти M(Z),D(Z), если Z=X+2Y.

Ответы:

1.1.р3=0,4; 0 при х≤-2,

0,3 при -2<х≤0,

F(x)= 0,5 при 0<х≤2,

0,9 при 2<х≤5,

1 при х>5

M(Х)=0,7; D(Х)=4,87; σ(Х) ≈2,193.

1.2. р4=0,1; 0 при х≤-1,

0,3 при -1<х≤0,

0,4 при 0<х≤1,

F(x)= 0,6 при 1<х≤2,

0,7 при 2<х≤3,

1 при х>3

M(Х)=1; D(Х)=2,6; σ(Х) ≈1,612.

1.3.

х	1	2	3
р	7/84	1/2	35/84

1.4.

х	2	3	4
р	2/5	8/15	1/15

1.5.

х	0	1	2
р	0,03	0,34	0,63

0 при х≤0,

0,03 при 0<х≤1,

F(x)= 0,37 при 1<х≤2,

1 при х>2

1.6.

х	0	1	2	3
р	0,03	0,22	0,47	0,28

M(Х)=2; D(Х)=0,62

1.7.

х	0	10	20	30
р	0,008	0,096	0,384	0,512

M(Х)=2,4; D(Х)=0,48, P(X>10)=0,896

1.8.

х	0	1	2	3
р	27/512	135/512	225/512	125/512

M(Х)=15/8; D(Х)=45/64; σ(Х) ≈

1.9.

х	0	1	2	3	4
р	0,0256	0,1536	0,3456	0,3456	0,1296

M(Х)=2,4; D(Х)=0,96

1.10.

х	1	2	3	4
р	0,3	0,21	0,147	0,343

0 при х≤ 1,

0,3 при 1<х≤2,

F(x)= 0,51 при 2<х≤3,

0,657 при 3<х≤4,

1 при х>4

1.11.

х	1	2	3
р	1/3	1/3	1/3

M(Х)=2; D(Х)=2/3

1.12.

х	1	2	3
р	0,9	0,09	0,01

1.13.

х	1	2	3
р	0,3	0,2	0,5

1.14. 1,22• e-0,2≈0,999

1.15. а)0,0189; б) 0,00049

1.16. а)0,0702; б)0,77687

1.17. 3,8; 14,2

1.18. 11,2; 4.

Глава 2. Непрерывная случайная величина

Определение: Непрерывной называют величину, все возможные значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный промежуток числовой оси.

Очевидно, число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Непрерывную случайную величину можно задавать с помощью функции распределения.

Определение: Функцией распределения непрерывной случайной величины Х называется функция F(х), определяющая для каждого значения хR

вероятность того, что случайная величины Х в результате испытания примет значение, меньшее х:

F(x)=P(X<x),где хR

Функцию распределения иногда называют интегральной функцией распределения.

Свойства функции распределения:

1)1≤ F(x) ≤1

2)У непрерывной случайной величины функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

3) Вероятность попадания случайной величины Х в один из промежутков (а;b), [а;b), [а;b], равна разности значений функции F(х) в точках а и b, т.е. Р(а<Х<b)= F(b)- F(a)

4)Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно отдельное значение равна 0.

5) F(-∞)=0, F(+∞)=1

Задание непрерывной случайной величины с помощью функции распределения не является единственным. Введем понятие плотности распределения вероятностей (плотность распределения).

Определение: Плотностью распределения вероятностей f(x) непрерывной случайной величины Х называется производная от ее функции распределения, т. е.:

f(x)=F’(x)

Плотность распределения вероятностей иногда называют дифференциальной функцией распределения или дифференциальным законом распределения.

График плотности распределения вероятностей f(x) называется кривой распределения вероятностей.

Свойства плотности распределения вероятностей:

1)f(x) ≥0,при хR

х

2) F(x)= ∫ f(x)dx

-∞

Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения снизу осью ОХ и лежащей левее точки х (рис.1)

b

3) Р(а<Х<b)= ∫ f(x)dx

a

Геометрически полученная вероятность равна площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой распределения, снизу осью ОХ, слева и справа прямыми х=а, х=b (рис. 2)

-∞

4) ∫ f(x) dx=1-условие нормировки

+∞

рис.1 рис.2

Задача №1.Случайная величина Х задана плотностью распределения вероятностей:

0 при х≤2,

f(x)= с(х-2) при 2<х≤6,

0 при х>6.

Найти: а) значение с; б) функцию распределения F(х) и построить ее график; в) Р(3≤х<5)

Решение:

+∞

а) Значение с найдем из условия нормировки: ∫ f(x)dx=1.

Следовательно, -∞

+∞ 2 6 +∞ 6 6

∫ f(x)dx=∫ 0dx+ ∫ c(х-2)dx +∫ 0dx= c∫ (х-2)dx=с(х2/2-2х) =с(36/2-12-(4/2-4))=8с;

-∞ -∞ 2 6 2 2

8с=1;

с=1/8.

х

б) Известно, что F(x)= ∫ f(x)dx

-∞

Поэтому, х

если х≤2, то F(x)= ∫ 0dx=0;

-∞ 2 2 х

если 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))=

-∞ -∞ 2

=1/8(х2/2-2х+2)=1/16(х-2)2;

2 6 х 6 6

если х>6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx+∫ 0dx=1/8∫(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) =

-∞ 2 6 2 2

=1/8(36/2-12-(4/2+4))=1/8•8=1.

Таким образом,