Дискретная случайная величина (стр. 4 )

0 при х≤2,

F(х)= (х-2)2/16 при 2<х≤6,

1 при х>6.

График функции F(х) изображен на рис.3

рис.3

в) Р(3≤Х<5)=F(5)-F(3)=(5-2)2/16-(3-2)2/16=9/16-1/16=5/16.

Задача №2. Случайная величина Х задана функцией распределения:

0 при х≤0,

F(х)= (3• arctg х)/π при 0<х≤√3,

1 при х>√3.

Найти дифференциальную функцию распределения f(х)

Решение: Т. к. f(х)= F’(x), то

0 при х≤0,

f(х)= (3•(1+х2)) /π при 0<х≤√3,

0 при х>√3.

Числовые характеристики

Понятие математического ожидания М (Х) и дисперсии D(X) введенные ранее дискретной случайной величины, можно распространить на непрерывные случайные величины.

·  Математическое ожидание М (Х) непрерывной случайной величины Х определяются равенством:

+∞

M(X)= ∫ x•f(x)dx,

-∞

при условии, что этот интеграл сходится абсолютно.

·  Дисперсия D(X) непрерывной случайной величины Х определяется равенством:

+∞

D(X)= ∫ (х-М(х)2)•f(x)dx, или

-∞

+∞

D(X)= ∫ х2•f(x)dx - (М(х))2

-∞

·  Среднее квадратическое отклонение σ(Х) непрерывной случайной величины определяется равенством:

Все свойства математического ожидания и дисперсии, рассмотренные ранее для дисперсных случайных величин, справедливы и для непрерывных.

Задача №3. Случайная величина Х задана дифференциальной функцией f(x):

0 при х≤0,

f(х)= х/3 при 0<х≤2,

1/3 при 2<х≤3,

0 при х>3.

Найти M(X),D(X),σ(Х), а также P(1<х<5)

Решение

+∞ 0 2 2 +∞ 2 3

M(X)= ∫ х•f(x)dx=∫ х•0dx+∫ х•х/3 dx+∫ х/3dx+∫ 0•х•dx=1/3∫х2dx+1/3∫ хdx=

-∞ 0 3 2 3 0 3 3 0 2

= x3/9 + х2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18,

2 2

+∞ 2 3 2 3

D(X)= ∫ х2• f(x)dx-(М(х))2=∫ х2•х/3•dx+∫1/3х2 dx=(31/18)2=х4/12 +х3/9 -

-∞ 0 2 0 2

- (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324,

5 2 3 5 2 3

P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х =

1 1 2 3 1 2

= 4/6-1/6+1-2/3=5/6.

Задачи для самостоятельного решения.

2.1.Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

0 при х≤0,

F(х)= при 0<х≤1,

1 при х>1.

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(-1/2<Х<1/2).

2.2.Непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения:

0 при х≤ π/6,

F(х)= - cos 3x при π/6<х≤ π/3,

1 при х> π/3.

Найти дифференциальную функцию распределения f (x), а также

Р(2π /9<Х< π /2).

2.3. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

0 при х≤2,

f(х)= с•х при 2<х≤4,

0 при х>4.

Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

2.4. Непрерывная случайная величина Х задана плотностью распределения:

0 при х≤0,

f(х)= с•√х при 0<х≤1,

0 при х>1.

Найти: а) число с; б) М(Х), D(X).

2.5. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

f(х)= при х[3;5],

0 при х [3;5].

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ(Х); в) вероятность того, что в четырех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее интервалу (1;4).

2.6. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

f(х)= 2(х-2) при х[2;3],

0 при х [2;3].

Найти: а) F(х) и построить ее график; б) M(X),D(X), σ (Х); в) вероятность того, что в трех независимых испытаниях величина Х примет ровно 2 раза значение, принадлежащее отрезку [1;2,5].

2.7. Функция f(х) задана в виде:

f(х)= при х[-√3/2 ; √3/2],

0 при х[-√3/2 ; √3/2].

Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

2.8.Функция f(x) задана в виде:

f(х)= при х[- π /4 ; π /4],

0 при х[- π /4 ; π /4].

Найти: а) значение постоянной с, при которой функция будет плотностью вероятности некоторой случайной величины Х; б) функцию распределения F(x).

2.9. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (3;7), задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что

случайная величина Х примет значение: а) меньше 5, б) не меньше 7.

2.10. Случайная величина Х, сосредоточенная на интервале (-1;4),

 

задана функцией распределения F(х)= . Найти вероятность того, что

случайная величина Х примет значение: а) меньше 2, б) не меньше 4.

2.11. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

f(х)= при х[1; е],

0 при х[1; е].

Найти: а) число с; б) М(Х); в) вероятность Р(Х> М(Х)).

2.12. Случайная величина задана дифференциальной функцией распределения:

f(х)= при х[0; π],

0  при х[0; π].

1   

Найти: а) М(Х); б) вероятность Р(Х≤М(Х))

2.13. Распределение Ремя задается плотностью вероятности:

0 при х<0,

f(х)= при х ≥0.

Доказать, что f(x) действительно является плотностью распределения вероятностей.

2.14. Задана плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х:

0 при х<0,

f(х)= с•х•е-х при х ≥0.

Найти число с.

2.15.Случайная величина Х распределена по закону Симпсона (равнобедренного треугольника) на отрезке [-2; 2] (рис.4). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.

(рис.4) (рис.5)