2.16. Случайная величина Х распределена по закону «прямоугольного треугольника» в интервале (0;4) (рис.5). Найти аналитическое выражение для плотности вероятности f(x) на всей числовой оси.
Ответы
2.1.
0 при х≤0,
f(х)= 
при 0<х≤1,
0 при х>1.
Р(-1/2<Х<1/2)= 2/3.
2.2. 0 при х≤ π/6,
F(х)= 3sin 3x при π/6<х≤ π/3,
0 при х> π/3.
Р(2π /9<Х< π /2)=1/2.
2.3. а) с=1/6, б) М(Х)=3 
в) D(X)=26/81.
2.4. а) с=3/2, б) М(Х)=3/5 в) D(X)=12/175.
2.5. 0 при х≤3,
а) F(х)= 
при 3<х≤5,
1 при х>5.
 |
б) M(X)=3 , D(X)=2/9, σ (Х)= √2/3;
в)3/8.
2.6. 0 при х≤2,
а) F(х)= (х-2)2 при 2<х≤3,
1 при х>3.
б) M(X)=2 , D(X)=3
, σ (Х)= 
≈ 1,893.
в)9/64.
2.7. а) с= 
0 при х≤√3/2,
б) F(х)=
при -√3/2<х≤√3/2,
1 при х>√3/2.
2.8. а) с=1/2
0 при х≤- π /4,
б) F(х)= 
при - π /4 <х≤ π /4,
1 при х> π /4.
2.9. а)1/4; б) 0.
2.10. а)3/5; б) 1.
2.11.а)с=2; б)М(Х)=2; в)1-ln22≈0,5185.
2.12. а) М(Х)= π /2 ; б) 1/2
2.14. с=1.
2.15. f(х)= 
при х
[-2; 2],
0 при х
[-2; 2].
2.16. f(х)= 
при х(0;4),
0 при х(0;4).
Глава 3. Некоторые законы распределения непрерывной
случайных величин.
§1. Равномерный закон распределения
Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет равномерный закон распределения на некотором интервале (а;b), которому принадлежат все возможные значения Х, если плотность распределения вероятностей f(x) постоянная на этом интервале и равна 0 вне его, т. е.
0 при х≤а,
f(х)= 
при a<х<b,
0 при х≥b.
График функции f(x) изображен на рис. 1
(рис. 1) (рис.2)
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по равномерному закону, задается формулой:
0 при х≤а,
F(х)= 
при a<х≤b,
0 при х>b.
Ее график изображен на рис. 2.
Числовые характеристики случайной величины равномерно распределенной на интервале (a;b), вычисляются по формулам:
M(Х)=
, D(X)=
, σ(Х)=
.
Задача№1. Случайная величина Х равномерно распределена на отрезке [3;7]. Найти:
а) плотность распределения вероятностей f(x) и построить ее график;
б) функцию распределения F(x) и построить ее график;
в) M(X),D(X), σ(Х).
Решение: Воспользовавшись формулами, рассмотренными выше, при а=3, b=7, находим:
0 при х<3,
а) f(х)= 
при 3≤х≤7,
0 при х>7
Построим ее график (рис.3):
рис.3
б) 0 при х≤3,
F(х)= 
при 3<х≤7,
1 при х>7 .
Построим ее график (рис.4):
рис.4
в) M(X) = 
=
=5,
D(X) = =
=
,
σ (Х) = 
=
=
.
§2. Показательный (экспоненциальный) закон распределения
Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет показательный (экспоненциальный) закон распределения с параметром λ>0, если функция плотности распределения вероятностей имеет вид:
0 при х<0,
f(х)= λе-λх при х≥0.
Функция распределения случайной величины Х, распределенной по показательному закону, задается формулой:
0 при х≤3,
F(х)= 1-e-λх при х≥0.
Кривая распределения f (х) и график функции распределения F(х) случайной величины Х приведены на рис.5 и рис.6.
рис.5 
рис.6
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение показательного распределения соответственно равны:
M(X)=
, D(X)=
, σ (Х)=
Таким образом, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.
Вероятность попадания Х в интервал (a;b) вычисляется по формуле:
Р(a<Х<b)= e-λа - e-λb
Задача №2. Среднее время безотказной работы прибора равно 100 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) плотность распределения вероятностей;
б) функцию распределения;
в) вероятность того, что время безотказной работы прибора превысит 120 ч.
Решение: По условию математическое распределение M(X)==100, откуда λ=1/100=0,01.
Следовательно,
0 при х<0,
а) f(х)= 0,01е -0,01х при х≥0.
б) F(x)= 0 при х<0,
1- е -0,01х при х≥0.
в) Искомую вероятность найдем, используя функцию распределения:
Р(X>120)=1-F(120)=1-(1- е -1,2)= е -1,2≈0,3.
§3.Нормальный закон распределения
Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса), если ее плотность распределения имеет вид:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 |
