ЛОКАЛИЗАЦИЯ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Уральский государственный экономический университет, Екатеринбург, axial_120.mail. ru

Рассмотрены динамические системы, моделируемые нелинейными многомерны-ми дифференциальными уравнениями. Дана оценка числа замкнутых траекторий для систем с выпуклыми (вогнутыми) нелинейностями.

Ключевые слова – нелинейные динамические системы, устойчивость замкнутых траекторий.

2.   Введение

Качественное поведение решений и устойчивость предельных циклов нелинейных динамических систем, как в скалярном, так и в векторном случае изучались, начиная с классических работ А. Пуанкаре [1], [2], [3], в многочисленных работах отечественных и зарубежных авторов (см., например, [4, 5]). Большой прикладной интерес представляют системы с выпуклыми (вогнутыми) нелинейностями [6–9]. В настоящей работе рассмотрена оценка числа замкнутых решений неавтономной многомерной системы.

3.   Основные обозначения и предположения

Рассматривается динамическая система, моделируемая многомерным нелинейным дифференциальным уравнением вида

, (1)

где – открытый интервал, содержащий .

Предполагается, что выполнены следующие условия.

(А) Функция непрерывна и имеет непрерывные частные производные

.

(В) Все координаты , обладают слабой вогнутостью по для каждого фиксированного .

(С) Существует такое , что для любого сегмента из по крайней мере одна из координат является строго вогнутой для.

Матрицу Якоби для вектор-функции, относительно переменных будем обозначать через . Максимальное решение дифференциальной системы (1), определенное в точке, будем обозначать через. Для решения, введем обозначения или , , фундаментальной матрицы уравнения первого приближения:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

, (2)

причем фундаментальная матрица характеризуется условием , где Е – единичная матрица размера.

Запись означает, что для всех j = 1, 2, …, n; запись означает, что и, и далее запись означает, что для всех j = 1, 2, …, n, и аналогично для матриц. Будем записывать , если не выполняется ни , ни .

Сопоставим вектор-функции , функцию

,

для .

Решение , системы (1) называется кооперативным, если уравнение в вариациях (2) обладает свойством монотонности, т. е. если выполнено условие

Решение , называется конкурентным, если уравнение в вариациях (2) обладает свойством обратной строгой монотонности, т. е. если выполнено условие

4.   Основные результаты

Известно [6, 9], что при решение , , системы (1) является кооперативным (конкурентным) тогда и только тогда, когда все недиагональные элементы матрицы , являются неотрицательными (неположительными), а матрица неприводима для всех t на некотором множестве, которое всюду плотно относительно .

Если является кооперативным решением, определенным на [0, ω], то . Если является конкурентным решением, определенным на [0, ω], то . Обозначим через характеристическое число для матрицы . Для замкнутого решения характеристический показатель определяется следующими формулами:

Пусть  – кооперативное или конкурентное замкнутое решение системы (1) с характеристическим показателем . Если , то является единственным замкнутым решением системы (1). Если, то для любого другого замкнутого решения выполняется неравенство для всех , если решение кооперативно, и не выполняется для всех , если решение конкурентно. Если , то для любого другого замкнутого решения неравенство выполняется для всех , если решение конкурентно и не выполняется для всех , если решение кооперативно. Для системы (1) при может быть не более одного кооперативного ограниченного решения. Кроме того, не может быть более одного конкурентного решения системы (1) при .

Приведенные утверждения могут быть интерпретированы как утверждения о локализации замкнутых решений. В случае подграфик не содержит точку замкнутой кривой решения, и если, в частности, является кооперативным решением, то любая точка замкнутой кривой решения должна лежать во внутренней области подграфика . Аналогичное рассуждение справедливо, если .

4.Выводы

Подход к оценке числа замкнутых траекторий, охарактеризованный в настоящей работе, может быть использован на предварительном этапе математического моделирования динамических систем. Дальнейшим этапом анализа указанных систем является исследование устойчивости замкнутых траекторий.

Литература

1. Избранные труды. – Т. 1. – М.: Наука, 1971.

2. Общая задача об устойчивости движения. – Харьков: Изд-во Харьковско-го матем. общества, 1892.

3. О прочности движения // Уч. записки Московского университета, 1882. – Вып. 1. – С. 1–104.

4. Предельные циклы. – М.: Наука, 1980.

5. Лекции по математической теории устойчивости. – М.: Наука, 1967.

6. Smith H. L. Cooperative systems of differential equations with concave nonlinarties // Non-linear Analysis. – 1986. – V.10. – P. 1037–1052.

7. Методы анализа устойчивости и динамической прочности траекторий нелинейных динамических систем. – М.: ВЦ РАН, 2008.

8. Sandgvist A., Andersen K. M. Localization of closed (periodic) solutions of a differential system with concave nonlinearities // Bull. London Math. Soc. – 2005. – V. 37. – P. 213–223.

9. Локализация и устойчивость замкнутых траекторий нелинейных дина-мических систем // Нелинейный мир. – 2010. – Т.8, № 8. – С. 525–534.

LOCALIZATION OF CLOSED TRAJECTORIES OF MATHEMATICAL MODELS OF NONLINEAR DYNAMIC SYSTEMS

S. N. Petrova

Ural State University of Economics, Ekaterinburg

The dynamical systems modeled by linear multidimensional differential equations are considered. The estimation of the number of closed trajectories for systems with a convex (concave) nonlinearities is given.

Кеу words  – nonlinear dynamical systems, stability of closed orbits.