МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
«ГРОДНЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ЯНКИ КУПАЛЫ»
|
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
ДЛЯ ПОСУПАЮЩИХ В МАГИСТРАТУРУ
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ 1-31 80 03 МАТЕМАТИКА
Гродно 2008
АВТОРЫ:
МИНЮК С. А., доктор физ.-мат. наук, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений и оптимального управления Гродненского государственного университета имени Янки Купалы
ВУВУНИКЯН Ю. М., кандидат физ.-мат. наук, профессор кафедры теории функций, функционального анализа, вероятностей и прикладной математики
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
- член-корреспондент НАН Беларуси, заведующий кафедрой функционального анализа БГУ, доктор физ.-мат. наук, профессор
- кандидат физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры ДУ и ОУ ГрГУ.
Рекомендована к утверждению решением учебно-методической комиссии по специальности математика_
Протокол № _3_ от «_18_» _03_ 2008 г.
Рекомендована к утверждению Советом факультета ________________________
Протокол № 8__ от «19» _марта__ 2008 г.
Рекомендована к утверждению Советом университета
Протокол № _____ от «__» _______ 2008 г.
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
От экзаменующихся требуется знание и свободное владение материалом, предусмотренным настоящей программой, и изложение представленного реферата.
СОДЕРЖАНИЕ
Раздел 1. Математический анализ
1. Действительные числа.
2. Предел последовательности и функции.
3. Непрерывные функции. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши.
4. Производная и дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.
5. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши для дифференцируемых функций.
6. Правило Лопиталя.
7. Формула Тейлора.
8. Предел и непрерывность функций многих переменных
9. Интеграл Римана. Формула Ньютона-Лейбница.
10. Числовые ряды.
11. Функциональные последовательности и ряды.
12. Степенные ряды и ряды Тейлора.
13. Функциональные ряды.
14. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функции многих переменных.
15. Кратный интеграл Римана.
16. Поверхностные интегралы.
17. Тригонометрический ряд Фурье.
18. Интеграл и преобразование Фурье.
Раздел 2. Теория меры и интеграла Лебега
1. Общее понятие меры. Продолжение меры с полукольца на кольцо.
2. Лебегово продолжение меры.
3. Измеримые функции.
4. Интеграл Лебега.
5. Предельный переход под знаком интеграла Лебега.
6. Прямые произведения систем множеств и мер. Теорема Фубини.
Раздел 3. Теория функций комплексного переменного
1. Комплексные числа и комплексная плоскость.
2. Дифференцируемость и аналитичность функции. Условия Эйлера-Даламбера.
3. Интегральная теорема Коши и интегральная формула Коши.
4. Интеграл типа Коши.
5. Ряды Тейлора и Лорана.
6. Теоремы о единственности для аналитической функции.
7. Принцип максимума модуля для аналитической функции.
8. Конформные отображения. Теорема Римана.
9. Аналитическое продолжение.
Раздел 4. Функциональный анализ
1. Метрические пространства.
2. Полные метрические пространства.
3. Принцип сжимающихся отображений.
4. Компактность в метрических пространствах.
5. Нормированные векторные пространства.
6. Банаховы пространства
7. Линейные операторы и функционалы в нормированных пространствах.
8. Теоремы об открытом отображении и о замкнутом графике.
9. Принцип равномерной ограниченности.
10. Компактные операторы.
11. Теорема Хана-Банаха.
12. Сопряжённые пространства и сопряженные операторы.
13. Гильбертово пространство. Ортонормированные системы.
14. Самосопряжённые операторы в гильбертовом пространстве.
15. Топологические векторные пространства.
16. Обобщенные функции и действия над ними.
Раздел 5. Общая теория обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Дифференциальные уравнения первого порядка.
2. Некоторые элементарные методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
3. Сведение общей системы дифференциальных уравнений к нормальной.
4. Теорема существования и единственности для одного уравнения.
5. Теорема существования и единственности для нормальной системы дифференциальных уравнений.
6. Непродолжимые решения.
7. Непрерывная зависимость решения от начальных значений и параметров.
8. Дифференцируемость решений по начальным значениям и параметрам.
9. Первые интегралы.
Раздел 6. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
1. Некоторые свойства линейных дифференциальных уравнений.
2. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (случай кратных корней).
3. Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (случай простых корней).
4. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
5. Метод исключения.
6. Нормальная линейная однородная система дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами.
Раздел 7. Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами
1. Нормальная система линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
2. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с переменными коэффициентами.
3. Нормальная линейная однородная система с периодическими коэффициентами.
Раздел 8. Устойчивость и управляемость
1. Устойчивость. Критерии устойчивости стационарных линейных систем.
2. Функции Ляпунова. Теоремы Ляпунова об устойчивости и асимптотической устойчивости. Теоремы Четаева и Барбашина-Красовского.
3. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
4. Линейные системы управления. Критерий управляемости линейных стационарных систем. Управляемость линейных нестационарных систем с гладкими параметрами, управляемость линейных нестационарных систем с периодическими коэффициентами.
5. Наблюдаемость. Условия наблюдаемости линейных систем.
ПЕРЕЧЕНЬ
ОСНОВНОЙ И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ
РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. . Математический анализ. В 2-х частях. М., Наука, Ч.1 – 1981 г., Ч.2 – 1984 г.
2. . Курс математического анализа. В 2-х томах. М., Высшая школа, 1981.
3. . Теория функций вещественной переменной. М., Наука, 1974.
4. , . Краткий курс функционального анализа. М., Высшая школа, 1982.
5. , . Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука. 1972.
6. . Теория операторов. М., Изд. МГУ, 1986.
7. . Теория аналитических функций. В 2-х частях. М., Наука. Т. 1 – 1967, Т.2 – 1968.
8. . Введение в теорию функций комплексного переменного. М., Наука. 1977.
9. Бярозкіна Н. С., Мінюк і інтэгральныя ўраўненні. Вуч. дапаможнік для студ. Фіз.-мат. і тэхн. спец. выш. навуч. устаноў. У 2 т. – Гродна: ГрДУ, 2000.
10. Голубев по аналитической теории дифференциальных уравнений. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950. - 436 с.
11. Демидович по математической теории устойчивости. – М.:Наука, 1967. - 472 с.
12. Зубов по теории управления. - М.: Наука, 1975. - 456 с.
13. , , Сендов анализ: Нач. курс: Уч. Для ВУЗов по спец. «Математика», «Прикл. Математика»: в 3 т.− М.: Изд-во МГУ, 1985.
14. , , Сендов анализ: Прололж. курса: Уч. для студентов ВУЗов − М.: Изд-во МГУ, 1987.
15. Кудрявцев анализ. Т.1,2-М.:Высш. шк., 1973.
16. Петровский об уравнениях с частными производными. − М.: Физматгиз, 1961.
17. Плисс проблемы теории колебаний. – М.: Наука, 1964. - 412 с.
18. Понтрягин дифференциальные уравнения. – М.: Наука, 1974.
19. Рейссиг, Г. Сансон, Р. Конти. Качественная теория нелинейных дифференциальных уравнений. − М.: Наука, 1974. - 318 с.
