Арифметическая прогрессия

«Арифметическая прогрессия»

9 класс

Составила:

Арифметическая прогрессия

Тип урока: повторительно-обобщающий.

Форма урока: дидактическая игра.

Цели: Дидактическая: обобщить и систематизировать теоретические знания по арифметической прогрессии. Совершенствовать навыки нахождения nого члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии с помощью формул.

Развивающая: развивать познавательный интерес обучающихся, учить их видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь.

Воспитательная: воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов; воспитание уважительного отношения к одноклассникам.

Оборудование: 1) плакат: «Математика – царица всех наук, а арифметика – царица математики».

К. Гаусс.

2) Компьютер и слайды.

3) Карточки для индивидуальной работы (4 шт).

4) Карточки с цифрами для ответов к устному тесту.(для всего класса)

5) Сообщение о Гауссе.

6) карточка с формулами на каждую парту.

7) Задачи 3 этапа (1 экземпляр).

8) рефлексия (тест каждому ученику).

9) домашнее задание на листах каждому ученику.

Ход урока:

1 этап: Мотивационно - ориентировочный (разъяснение цели учебной деятельности).

Учитель: Сегодня на уроке лозунг нас зовет:

«Прогрессио – движение вперед!»

Мы начинаем наш урок.

Ваши глубокие познания прогрессии

Должны всех нас сегодня удивить.

Все устные задания

Нам нужно на одном дыхании решить.

Ведь формулы и определения известны нам теперь.

И в мир задач решения нам широко открыта дверь.

Решишь задачи - берись за тест,

Чтоб не осталось пустых мест.

Сегодня мы должны убедиться,

Что и в 21 веке прогрессия пригодится.

(Слайд 1): Запишем в тетради дату и тему урока.

Давайте совместно определим цели нашей работы на уроке. Для этого я вам предлагаю прочитать некоторые мысли, выбрать наиболее подходящие для нашей работы и дополнить их.

( n-ого члена ар. пр.; суммы n первых членов ар. пр.; формулу выражающую характеристические свойства ар. пр.)

(Слайд 2): - Умение применять формулы……..

( математическим языком, использовать математические символы, правильно оформлять задачи)

- Умение грамотно говорить…….

(полученные на уроках знания)

- Умение обобщать и систематизировать…….

- умение логически мыслить…….. (при решении задач)

- умение пересказывать…….

- умение молчать……..

Итак, если все сказанное вами обобщить, то получим цели урока:

(Слайд 3):

n  Обобщить теоретические знания по теме; совершенствовать навыки нахождения п-го члена и суммы п первых членов арифметической прогрессии с помощью формул;

n  Развивать познавательный интерес, учиться видеть связь между математикой и окружающей жизнью; развивать грамотную математическую речь;

n  Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов;

воспитывать уважительное отношение к одноклассникам.

2 этап: Актуализация опорных знаний:

К доске приглашаются 4 обучающихся, которые желают работать индивидуально. Вам предлагаются карточки с заданиями уровней А, В, С.

Дано: аn- арифметическая прогрессия; а10 = 126, d = 4. Найти а1

1) Уровень А:

Решение: а10 = а1 + 9 d;

126 = а1+ 36;

а1 = 126 – 36;

а1 = 90.

2) Уровень А:

Дано: аn- арифметическая прогрессия; а1 = 12; d = 0,4. Найти а51

 

Решение: а51 = а1 + 50 d;

а51 = 12 + 50 · 0,4;

а51 = 12 + 20;

а51 = 32.

Подготовку к экзамену начинают с 15 минут. В каждый следующий день её время увеличивают на 10 минут. Сколько дней следует готовиться к экзамену в указанном режиме, чтобы достичь максимальной продолжительности подготовки, не влияющей на здоровье подростка 1 час 45 минут?

3) Уровень В:

Решение: а1 = 15мин; d = 10 мин; аn = 1ч 45мин = 105 мин. Найти: n.

аn = а1 + (n – 1)· d;

105 = 15 + (n – 1)· 10;

10· n = 100;

N = 10. Ответ: 10 дней.

Является ли число 156 членом арифметической прогрессии (аn), в которой а1 = 24; а22= 60 ?

4) Уровень С:

аn = а1 + (n – 1)· d; 156 = 24 + (n – 1)·12/7; 156 = 24 + 12/7 n - 12/7; 12/7 n = 936/7; n = 78. Ответ: а78 = 156, является.

 

Решение: а22 = а1 + 21 d;

60 = 24 + 21d;

21d = 36;

d = 12/74

В это время фронтальная работа с классом в виде теста:

(Слайд 4):

1)  Из предложенных последовательностей выберите те, которые являются арифметическими прогрессиями:

1)  1; 2; 4; 9; 16… 3) 1; 11; 21; 31;…

2)  2; 4; 8; 16… 4) 7; 7; 7; 7;…..

Какая последовательность называется арифметической прогрессией? Назовите её рекуррентную формулу. Чему равна разность ар. пр. в 3) и 4) пунктах.

2) Из предложенных формул выберите ту, которая показывает характеристическое свойство ар. пр.:

1) аn+1 = аn+ d; 3) Sn = ;

2) ; 4) аn = а1 + (n – 1)· d;

Сформулируйте данное свойство.

3) Из данных формул выберите формулу n члена: 4)

4) В арифметической прогрессии известны а1 = -12; d = 3. Найдите а5.

1) 24; 2) 0; 3) 3; 4) -9

5) Выберите те данные по которым нельзя найти седьмой член арифметической прогрессии.

1) а6 ; d 2) а1 ; d 3) а6; а8 4) Sn; d

Как, зная а6 и d найти а7 ? (по определению ар. пр. а7 = а6 + d )

Как, зная а1 и d найти а7 ? ( по формуле n члена а7 = а1 + 6d )

Как, зная а6 и а8 найти а7 ? ( с помощью характеристического свойства ар. пр. )

6) Задача очень не проста: как сделать, чтобы быстро от 1 и до 100 сложить в уме все числа? Пять подсказок изучи – найдешь к решению ключи: 1 + 100=….; 2+99=….; 3+98=….; 4+97=….; 5+96=…. Давным давно сказал один мудрец, что прежде надо связать начало и конец у численного ряда.

1) 5000; 2) 4949; 3) 5151; 4) 5050.

С этим заданием связана легенда об известном немецком математике К. Гауссе (одно из его высказываний вы можете прочитать над доской).

(Слайд 5): фото К. Гаусса.(30.04.1777 – 23.02.1855)

Выступление ученика:

Дед Гаусса был бедным крестьянином, отец – садовником, каменщиком, смотрителем каналов в герцогстве Брауншвейг. Уже в двух летнем возрасте мальчик показал себя вундеркиндом: в 3 года он уже умел читать, писать, даже исправлял счетные ошибки отца. Согласно легенде, школьный учитель математики, чтобы занять детей на долгое время, предложил им сосчитать сумму чисел от 1 до 100. Юный Гаусс заметил, что попарные суммы с противоположных концов одинаковы: 1+100=101; 2+99=101; 3+98=101 и т. д. и мгновенно получил результат (1+100) · 50=5050. Тот же самый ответ, мы можем получить, используя формулу суммы n первых членов, учитывая,

что а1 = 1, а100 = 100, n = 100.

До самой старости Гаусс большую часть вычислений производил в уме. Свободно владея множеством языков, он некоторое время колебался в выборе между филологией и математикой, но предпочел последнюю. Ему принадлежат формулировки и доказательства множества свойств и теорем математики. Он очень любил латинский язык и значительную часть своих трудов написал на латыни; любил французскую, английскую и русскую литературу. В возрасте 62 лет Гаусс начал изучать русский язык, чтобы ознакомится с трудами Лобачевского, и вполне преуспел в этом деле. Современники вспоминают Гаусса как жизнерадостного, дружелюбного человека, с отличным чувством юмора.

Проверка по индивидуальным карточкам.(физ. минутка после задания В)

- А сейчас, чтобы вы окончательно убедились в своих твердых знаниях теоретического материала и формул, поработаем в парах.

Вам предлагается карточка, в которой вы вместе с соседом по парте должны найти «пару», соединив их стрелкой.

(Слайд 6):

 

Определение
арифметической
прогрессии

Формула n-го члена
арифметической
прогрессии

Свойство каждого
члена арифметической
прогрессии

Сумма первых n членов
арифметической
прогрессии

Формула разности
арифметической
прогрессии

 

3 Этап: Приложение математических знаний.

- Прогрессии встречаются не только в математике, но и в окружающем нас мире и очень часто. И одну практическую задачу мы с вами уже решили. Воспользуйтесь советом для подготовки к экзаменам.

А сейчас давайте решим задачу от работников почты:

Чтобы отправить четыре бандероли, требуется четыре разные почтовые марки на общую сумму 120 рублей. Цены марок составляют арифметическую прогрессию. Сколько стоит самая дорогая марка, если она в три раза дороже самой дешёвой?

Решение: S4 = 120 руб; а4 = 3а1 ; Найти: а4

120 = (а1 + 3а1)/2 · 4;

120 = 2а1 · 4;

а1 = 15;

а4 = 45 руб.

Задача от экономистов:

Вкладчик 1 января 2007 года внес в сберегательный банк 50000 рублей. Какой стала сумма его вклада на 1 января 2010 года, если сбербанк начислял ежегодно 20% от вложенной суммы?

Решение: а1 = 50000 руб; d = 20%; Найти: а4

d = 0,2 · 50000 = 10000 руб;

а4 = а1 + 3 d;

а4 = 50000 + 3 · 10000 = 80000 руб.

Задача от родителей:

Родители ко дню рождения сына Андрея решили купить ему мобильный телефон. Для этого они в первый месяц отложили 650 рублей, а в каждый следующий месяц откладывали на 50 рублей больше, чем в предыдущий. Какая сумма будет у родителей Андрея через 10 месяцев и смогут ли они купить выбранный им телефон за 8 500 рублей?

Решение: а1 = 650 руб; d = 50 руб; n = 10. Найти: S10.

S10 = (1300 + 9 · 50) · 5 = 8750 руб.

Ответ: смогут купить.

А знаете ли вы, что арифметическая прогрессия применяется и в литературе: у в романе «Евгений Онегин» есть такие строки: «не мог он ямба от хорея, как мы не бились, отличить…». Интересно, а вы сможете? Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха.

Ямб – стихотворный размер с ударениями на четных слогах стиха (Мой дя´дя са´мых че´стных пра´вил), т. е. ударными являются второй, четвертый, шестой, восьмой и т. д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 2 и разностью 2.

Хорей - стихотворный размер с ударениями на нечетных слогах стиха (Бу´ря мгло´ю не´бо кро´ет), т. е. ударными являются первый, третий и т. д. слоги. Номера ударных слогов образуют арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью 2.

4 Этап: Заключительный.

Итог: С такими задачами, ребята, вам придется сталкиваться не только в жизни, но и на экзаменах, как в 9 классе, так и в 11. Чтобы набрать большее количество баллов, нужно уметь их решать.

Рефлексия:

Сейчас я раздам вам тесты, заполнив их, вы сможете проанализировать нашу с вами совместную работу и индивидуальную. (Собрать тесты и проговорить ответы с детьми).

ТЕСТ:

1)  Результатом своей личной работы считаю, что я…

А) разобрался в теории.

Б) научился решать задачи.

В) повторил изученный материал.

2) Чего вам не хватало на уроке при решении заданий:

А) знаний.

Б) времени.

В) желания.

Г) решал нормально.

3) Кто оказывал вам помощь в преодолении трудностей на уроке:

А) одноклассники.

Б) учитель.

В) учебник.

Г) никто.

Выставление оценок.

Домашнее задание: (творческое)

1)  Задача:

Для участия в международной математической игре «Кенгуру – математика для всех» необходимо в оргкомитет подать заявку от школ. В первый день указанного срока заявку в оргкомитет подали 5 школ, во второй – 7 школ, в третий – 9 школ и т. д.Через сколько дней в оргкомитет будет будет подано 60 заявок (считая, что полученная закономерность не будет нарушена)? Сколько заявок поступит в последний день?

2)  Заполните пустые клетки таблицы числами так, чтобы в каждых строке и столбце они составили арифметическую прогрессию.

				21
	16
		27
1