КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
имени аль – ФАРАБИ
МЕХАНИКО – МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
СИЛАБУС
по дисциплине
" Обобщенные преобразования Фурье, Лапласа "
(дополн. главы математической физики)
специальность - 6D070500 – Математическое и компьютерное моделирование
форма обучения - дневная
магистры – 1 курс, 2 семестр
Лекции - 15 часов
Семинары - 15 часов
Количество РК - 2 (по 2 час.)
СРС -15 часов
Экзамен - 3 часа
Подготовка силабуса - 40 часов
Подготовка к занятиям - 15*4(лекции)+15*2(семинары)=90 час.
Консультации и проверка СРС – 18 часов (2 магистранта)
Всего 52+148 =200 час.
Преподаватель проф. д. ф.-м. н. .,
+77773381814, *****@***kz
Место проведения в ИМММ МОН РК
Лекции: среда с 12.10 по 13. 5 в ауд.409
Семинар: четверг с 12.10 по 13.00 в ауд. 201
Описание курса. Математическое моделирование физических процессов в сплошных средах приводит к краевым задачам математической физики для дифференциальных уравнений и систем различного типа. Существуют разнообразные методы построения решений краевых задач, которые условно можно разделить на численные и аналитические. Среди численных методов наибольшее распространение получили конечно-разностные и конечно-элементные методы, которые широко используются в механике сплошных сред. Их применение требует определенной гладкости и дифференцируемости решений, что приводит к большим математическим трудностям при моделировании нестационарных динамических процессов, сопровождаемых ударными волнами. Отметим также определенные искусственные ограничения на границы областей, что приводит к необходимости привлекать искусственные численные методы при отходе границ областей от канонических. Кроме того исчезает физическая наглядность в представлении решения краевой задачи. Без численной реализации алгоритмов и численных экспериментов предугадать особенности физического процесса, как правило, эти методы не дают.
В этом отношении аналитические методы решения краевых задач обладают тем преимуществом, что позволяют по математическим формулам, описывающим решение краевой задачи, даже не проводя по ним численные эксперименты, провести анализ процесса и часто даже получить простые асимптотические приближения, вполне пригодные для инженерных расчетов, не прибегая для этого к громоздким пакетам компьютерных программ. Среди таковых следует назвать Метод граничных интегральных уравнений (МГИУ), который широко применяется для решения краевых задач математической физики. Исторически возникнув как аналитический метод для решения вопросов корректности постановок краевых задач, он, в связи с развитием вычислительных средств, стал широко использоваться для решения широкого класса задач механики сплошных сред, инженерной механики. Существует международное общество "Boundary Element Society" с центром в Вессекском технологическом институте (Southhampton, UK), президентом которого является известный ученый в этой области Карлос Бреббиа. Целью этого общества является развитие и широкое внедрение метода граничных элементов (МГЭ) и тесно связанного с ним МГИУ в инженерную практику.
В основе метода ГИУ лежит построение фундаментальных решений дифференциальных уравнений, для которых ставится краевая задача. Эти решения и их производные определяют ядра ГИУ и интегральных представлений решений, которые определяются их граничными значениями и комбинациями их определенных производных. Сами по себе фундаментальные решение дают наглядное представление о физике процесса при действии сосредоточенных источников определенного типа. А их определенные распределения на границе области, которые строятся в процессе решения задачи, показывают, как работает граница области и начальные условия. Поэтому МГИУ является очень эффективным методом для изучения физических процессов, особенно динамических, ударных волновых, где численные методы наталкиваются на большие осложнения.
Но для овладения МОФ и МГИУ студенты вначале должны изучить аппарат теории обобщенных функций и их интегральных преобразований.
Целью специального курса является более подробное, чем это дается в общем курсе математической физики, знакомство студентов с математическим аппаратом теории обобщенных функций и различных операций над ними. Они должны научиться строить фундаментальные, обобщенные и классические решения уравнений математической физики. Одним из эффективных способов построения фундаментальных решений и решений краевых задач являются методы интегральных преобразований Фурье и Лапласа обобщенных функций, который предполагает знание теории обобщенных функций. Поэтому первая половина спецкурса посвящена изложению основ теории обобщенных функций и операций над ними. Вторая половина посвящена изложению методов интегральных преобразований Фурье и Лапласа в пространстве обобщенных функций и методам построения решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с использованием этих преобразований на примере классических уравнений математической физики эллиптического, параболического и гиперболического типов..
Результаты обучения
Студенты научатся использовать аппарат теории обобщенных функций и интегральных преобразований Фурье и Лапласа для построения решений дифференциальных уравнений математической физики, приобретут умение пользоваться обобщенными регулярными и сингулярными функциями для построения и изучения свойств решений дифференциальных уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов, проведения вычислений, для математического моделирования физических процессов, для изучения нестационарных динамических процессов, сопровождаемых ударными волнами.
Организация курса
Модуль № 1. Основы теории обобщенных функций (20часов):
лекции – 6 часов,
практические занятия – 6часов,
СРС –6 часов,
рубежный контроль -2 часа.
Модуль № 2. Преобразование Фурье и Лапласа обобщенных функций и решений дифференциальных уравнений (30 часа):
лекции – 9 часов,
практические занятия – 9 часов,
СРС – 9 часов,
рубежный контроль -3 часа.
Экзамен -3 часа
Пререквизиты и кореквизиты
После прохождения данного спецкурса уровень математического образования студентов резко повышается, т. к. при изучении данной дисциплины необходимо знание и активное применение математических методов следующих предметов, изучаемых на 1-4 курсах механико - математических факультетов университетов:
1. Математический анализ
2. Линейная алгебра и геометрия
3. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений
4. Теория уравнения в частных производных
5. Функциональный анализ
В связи с этим могут возникнуть трудности у магистрантов, выпускников педагогических и инженерных вузов, где последние три дисциплины преподаются неглубоко или вообще не преподаются (например 5.). Поэтому они должны будут самостоятельно изучать необходимые для этого дополнительные главы математической фиики. В вышеуказанном списке литературы в [1] содержится необходимая для этого информация, которая будет предлагаться для изучения при самостоятельной работе студента (СРС).
Требования курса
Основой курса являются лекции (по 1 акад. часу), практические занятия (1 акад. час) и самостоятельная работа студентов (СРС-1 час).
Во время лекции допускаются вопросы студентов по непонятному материалу, равно как и вопросы лектора к студентам для проверки усвоения излагаемого материала.
Практические занятия проводятся в форме семинара, на котором решаются задачи, связанные с материалом, изложенным в предыдущих лекциях. Форма семинара интерактивная, с привлечением аудитории к выбору методов и способов решения поставленной задачи, которые решаются на доске. Преподаватель оценивает работу студентов на семинаре, их способность решать поставленные задачи исходя из нижеописанной политики оценки
Самостоятельная работа студента включает в себя выполнение домашних заданий, часть которой выполняется в письменном виде, аккуратно оформляется и сдается преподавателю для ее оценки. Необходимые требования к работе студентов следующие:
1. Обязательное посещение лекций. Изучение лекционного материала. Выполнение заданий по лекционному материалу на освоение определений теории обобщенных функций и проведение доказательств.
2. Работа с литературой, особенно с [1-2]. Обязательное чтение предлагаемых лектором ее разделов для освоения техники доказательств и восполнения недостающих знаний.
3. Выполнение домашних заданий. Обязательное самостоятельное решение заданных на лекции и семинаре примеров и задач.
4. Выполненные задания по изучаемому материалу принимаются преподавателем ( в каб.313 ИМММ) для проверки усвоения студентом материала в течении двух недель после его изложения на лекции и используются при оценке его успеваемости.
График дисциплины
Неделя | Название темы | Кол-во часов | Максималь ный балл |
Модуль №1. Основы теории обобщенных функций (6 лекций - 6 часов, лабораторные – 6 часов, СРС - 6 часов) | |||
1 | Лекция 1. Основные и обобщенные функции в | 1 | 5 |
Практическое занятие 1. Примеры на сингулярные и регулярные обобщенные функции в пространствах разной размерности. | 1 | 5 | |
СРС. Примеры на сингулярные и регулярные обобщенные функции в пространствах разной размерности. | 1 | 5 | |
2 | Лекция 2. Операции над обобщенными функциями: cдвиг, замена переменных, умножение. Сходящие последовательности в | 1 | 5 |
Практическое занятие 2. Примеры на освоение операций над обобщенными функциями. Сходящиеся последовательности и ряды в | 1 | 5 | |
СРС. Провести заданные доказательства и решить примеры | 1 | 5 | |
3 | Лекция 3. Дифференцирование обобщенных функций. Производная обобщенной функции. Градиент, дивиргенция, ротор. Формулы Остроградского Гаусса. Характеристическая функция множества и ее обобщенная производная в | 1 | 5 |
Практическое занятие 3. Производные кусочно-непрерывных и кусочно-дифференцируемых функций в | 1 | 5 | |
СРС Вычисление производных регулярных и сингулярных функций в | 1 | 5 | |
4 | Лекция 4. Прямое произведение обобщенных функций и его свойства. Операции над прямым произведением ОФ. Дифференцирование прямого произведения. | 1 | 5 |
Практическое занятие 4. Вычисление действия прямого произведения на основные функции. Представление дельта-функции как прямого произведения. | 1 | 5 | |
СРС. Примеры на вычисление прямого произведения и его производных | 1 | 5 | |
5 | Лекция 5. Свертка регулярных обобщенных функций и ее свойства. Условия существования свертки. Свертки регулярных обобщенных функций с ограниченным и полуограниченным носителем. | 5 | |
Практическое занятие 5. Решение примеров на свертки регулярных функций. Свертки обобщенных функций с простыми и двойными слоями | 5 | ||
СРС. Решение примеров на свертки РОФ, свертки прямых произведений. | 1 | 5 | |
6 | Лекция 6. Фундаментальные решения дифференциальных уравнений. Обобщенные и классические решения дифференциальных уравнений и связь между ними. Лемма Дюбуа-Реймона. Свойства фундаментальных решений. Решения неоднородных дифференциальных уравнений. | 1 | |
Практическое занятие 6. Построение фундаментальных решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение неоднородных дифференциальных уравнений в | 1 | 5 | |
СРС. Примеры на построение фундаментальных и обобщенных решений дифференциальных уравнений второго порядка. | 1 | 5 | |
Рубежный контроль 1 (2 часа) | 10 | ||
ИТОГО | 100 | ||
Модуль №2. Преобразование Фурье и Лапласа обобщенных функций и решений дифференциальных уравнений (лекции -9, семинары-9, СРС-9) | |||
7 | Лекция 7. Преобразование Фурье регулярных функций и условия их существования. Пространства Шварца | 1 | 4 |
Практическое занятие 7. Преобразование Фурье производных и сверток в | 1 | 3 | |
СРС. Примеры на построение преобразования Фурье классических функций | 1 | 3 | |
8 | Лекция 8. Пространство обобщенных функций медленного роста Преобразование Фурье в | 1 | 4 |
Практическое занятие 8. Преобразование Фурье функции Хевисайда. Интеграл в смысле главного значения. Формула Сохоцкого. | 1 | 3 | |
СРС. Примеры на вычисление обобщенного преобразования Фурье регулярных обобщенных функций | 1 | 3 | |
9 | Лекция 9. Носитель обобщенной функции. Преобразование Фурье обобщенной функции с ограниченным носителем. Преобразование Фурье простых и двойных слоев | 1 | 4 |
Практическое занятие 11. Преобразование Фурье простого слоя на сфере и характеристической функции шара. | 1 | 3 | |
СРС. Примеры на вычисление обобщенного преобразования Фурье сингулярных обобщенных функций | 1 | 3 | |
10 | Лекция 10. Обратное преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста и его свойства. | 1 | 4 |
Практическое занятие 10. Примеры на определение обратного преобразования Фурье регулярных и сингулярных обобщенных функций | 1 | 3 | |
СРС. Примеры на определение обратного преобразования Фурье сингулярных обобщенных функций | 1 | 3 | |
11 | Лекция 11. Фундаментальные решения дифференциальных уравнений и их преобразование Фурье. Решение неоднородных дифференциальных уравнений в пространстве преобразований Фурье | 2 | 4 |
Практическое занятие 11. Фундаментальные решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и их преобразование Фурье. Регуляризация преобразования Фурье. | 1 | 3 | |
СРС. Примеры на построение преобразования Фурье решений уравнений второго порядка | 1 | 3 | |
12 | Лекция 12. Фундаментальные решения уравнения Лапласа в | 1 | 4 |
Практическое занятие 12. Гравитационный и кулоновский потенциал. Построение протенциалов шара с заданной плотностью массы и заряженной сферы с заданной поверхностной плотностью электрического заряда. | 1 | 3 | |
СРС. Примеры на построение ньютоновских и кулоновских потенциалов в пространствах размерности N=2,3. | 1 | 3 | |
13 | Лекция 13. Фундаментальные решения уравнения теплопроводности в | 1 | 4 |
Практическое занятие 13. Построение тепловых протенциалов для сосредоточенных и распределенных тепловых источников различного типа. | 1 | 3 | |
СРС. Примеры на построение тепловых потенциалов в пространствах размерности N=1,2,3. | 1 | 3 | |
14 | Лекция 14. Фундаментальные решения волнового уравнения и их преобразование Фурье (уравнения Даламбера ). Ударные волны, волновые фронты. Запаздывающие потенциалы. | 1 | 4 |
Практическое занятие 14. Функция Римана и формула Даламбера для пространственно-одномерного волнового уравнения. Примеры. | 1 | 3 | |
СРС. Примеры на построение решений неоднородного уравнения Даламбера | 1 | 3 | |
15 | Лекция 15. Обобщенные функции с полуограниченным носителем | 1 | 4 |
Практическое занятие 15. Построение преобразования Лапласа сингулярных и регулярных обобщенных функций | 1 | 3 | |
СРС. Примеры на построение преобразования Лапласа регулярных обобщенных функций | 1 | 3 | |
Рубежный контроль 2 (3 часа) | 10 | ||
ИТОГО | 100 | ||
ЭКЗАМЕН (3 часа) | 100 | ||
и 
в 
и его преобразование Фурье. Ньютоновские потенциалыЭКЗАМЕН (письменный)
(ответить на 3 вопроса, ПО ОДНОМУ из указанных ниже ТРЕХ серий вопросов)
В О П Р О С 1
1. Основные и обобщенные функции в 
. Сходящиеся последовательности и полнота пространства 
. Привести примеры.
2. Нулевое множество и носитель обобщенной функции. Привести примеры.
3. Регулярные и сингулярные обобщенные функции. Дельта-функция и ее свойства. Преобразование Фурье дельта-функции.
4. Простой и двойной слой на поверхности. Носитель простого и двойного слоя. Их преобразование Фурье.
5. Определение сходящихся последовательностей в . Обобщенные функции 
и их свойства.
6. Интеграл в смысле главного значения. Формула Сохоцкого.
7. Операции над обобщенными функциями: cдвиг, замена переменных, умножение. Примеры.
8. Производная обобщенной функции в 
. Производные кусочно-непрерывных и кусочно-дифференцируемых функций. Функция Хевисайда и ее обобщенная производная.
9. Скалярные и векторные поля. Градиент, дивиргенция, ротор. Формула Остроградского-Гаусса.
10. Характеристическая функция множества и ее производная в . Производная характеристической функция отрезка, круга, шара.
11. Разрывные кусочно-дифференцируемые регулярные обобщенные функции и их производные в .
12. Производная обобщенной функции в . Производная простого слоя, двойной слой.
13. Прямое произведение обобщенных функций и его свойства. Привести примеры.
14. Дифференцирование прямого произведения. Привести примеры.
15. Свертка регулярных обобщенных функций и ее свойства. Условия существования сверток. Привести примеры.
16. Свертка обобщенных функций в и ее свойства. Свертка регулярной обобщенной функции с простым слоем.
17. Дифференцирование сверток. Свойства производной свертки.
18. Сверточная алгебра обобщенных функций 
. Фундаментальное решение. Решение уравнений в сверточной алгебре.
19. Фундаментальное решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Решение неоднородного уравнения.
20. Построение фундаментального решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка Привести пример.
В О П Р О С 2
1. Пространства Шварца 
и их свойства. Преобразование Фурье в и его свойства.
2. Пространство обобщенных функций медленного роста 
. Преобразование Фурье в и его свойства.
3. Носитель обобщенной функции. Преобразование Фурье обобщенной функции с ограниченным носителем. Преобразование Фурье сингулярных обобщенных функций с ограниченным носителем.
4. Однородное обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и его решение в пространстве преобразований Фурье.
5. Обратное преобразование Фурье обобщенных функций медленного роста и его свойства. Прямое и обратное преобразование Фурье функции Хевисайда и дельта-функции.
6. Фундаментальные решения линейного дифференциального уравнения с частными производными. Решения неоднородных уравнений.
7. Фундаментальное решение уравнения Лапласа в 
и его преобразование Фурье.
8. Ньютоновский потенциал. Гравитационный потенциал тела с распределенной массой
9. Фундаментальные и обобщенные решения уравнения Лапласа-Пуассона в пространстве размерности N=2.
10. Построение решений однородного уравнения теплопроводности с использованием преобразования Фурье
11. Фундаментальные решения уравнения теплопроводности и их преобразования Фурье.
12. Обобщенные и классические решения уравнения теплопроводности в и 
. Тепловые потенциалы
13. Фундаментальное решения волнового уравнения и его свойства в . Формула Даламбера
14. Фундаментальные решения волнового уравнения и их свойства в 
, Запаздывающие потенциалы.
15. Фундаментальное решение волнового уравнения и его преобразование Фурье пространстве размерности N=2.
16. Фундаментальное решение волнового уравнения и его преобразование Фурье в пространстве размерности N=3.
17. Обобщенные функции с полуограниченным носителем 
, их свертки и их преобразование Фурье.
18. Обобщенные функции экспоненциального роста. Прямое преобразование Лапласа обобщенных функций и его связь с преобразованием Фурье.
19. Обратное преобразование Лапласа обобщенных функций в и его связь с преобразованием Фурье.
20. Свойства преобразования Лапласа обобщенных функций
В О П Р О С 3
1. Какая из функций является обобщенной из 
2. Какая из функций не является обобщенной из 
3 Найти для любого 
, H(x) – функция Хевисайда
4..Найти для любого 
5. Вычислить на :
6. Вычислить на :
7. Вычислить на :
8. Вычислить на :
9 . Вычислить на :
где 
- сфера радиуса а с центром в начале координат.
10. Вычислить в :
11. Вычислить свертку на
12. Вычислить свертку на
13. Найти преобразование Фурье свертки на : 
14. Найти преобразование Фурье-Лапласа свертки обобщенных функций
где H(t) – функция Хевисайда, - сфера радиуса а с центром в начале координат.
15 Найти фундаментальное решение дифференциального уравнения в
16 Найти общее решение обыкновенного дифференциального уравнения.
17. Найти решение уравнения Пуассона и его преобразование Фурье:
18. Найти ньютоновский потенциал для простого слоя на сфере и его преобразование Фурье:
, N=3
19 Построить решение уравнения теплопроводности :
, где H(…) – функция Хевисайда,
20. Построить решение волнового уравнения в 
и его преобразование Фурье:
Литература
1. Владимиров математической физики.-М: «Физматгиз»,.1978.512 с.
2. Владимиров функции в математической физике. - М: «Наука», 1979.
3. Владимиров задач по уравнениям математической физики. М: «Физматгиз», 1982.
4. , Шилов функции и действия над ними. - М: «Наука», 1958.
5. инейные дифференциальные операторы с частными производными. - В 5-ти томах. М:«Мир»,1965.
Политика оценки
При выставлении оценки учитывается
· Степень усвоения теоретических положений
· Умение грамотного математического изложения доказательств и решений задач
· Вычислительные способности студента, особенно в области матанализа, линейной алгебры и дифференциальных уравнений
· Аккуратность в оформлении самостоятельной работы.
· Самостоятельность в выполнении работы. Не выставляется положительная оценка при списывании решений друг у друга.
Принятая шкала оценок следующая
95% - 100%: А 90% - 94%: А-
85% - 89%: В+ 80% - 84%: В 75% - 79%: В-
70% - 74%: С+ 65% - 69%: С 60% - 64%: С-
55% - 59%: D+ 50% - 54%: D - 0% -49%: F
Декан факультета ФИО
Председатель методбюро ФИО
Заведующий кафедрой ФИО
Лектор
