Контрольная работа для студентов заочного отделения
по теории вероятностей
и математической статистике
(номер варианта – последняя цифра номера зачетной книжки)
Задача № 1.
5. В группе 12 студентов, среди которых 8 девушек. По списку наудачу отобраны 9 студентов. Найти вероятность того, что среди отобранных студентов 5 девушек.
Решение.
Пусть событие 
– среди отобранных 9 студентов окажется пять девушек. Общее число всех случаев, которыми можно отобрать 9 человек из 12 студентов, есть 
. Найдем число способов, которыми можно выбрать пять девушек из 8, т. е. 
. Кроме того, учтем число комбинаций, которыми можно выбрать 4 юноши из 12 – 8 = 4 юношей группы, таких комбинаций 
. По правилу произведения общее число случаев благоприятствующих событию , равно 
. Итак,
Ответ: 
.
Задача № 2.
5. В урне 10 белых и 5 чёрных шаров. Наудачу вынули 6 шаров (с возвращением). Какова вероятность того, что белых шаров при этом не менее 4?
Решение.
Поскольку событие, обозначающее извлечение в каждом испытании белого шара, является независимым, применим формулу Бернулли: 
.
В данном случае известно, что 
– вероятность извлечения белого шара, тогда 
– вероятность извлечения черного шара. Всего вынимают 6 шаров, т. е. 
.
Пусть событие – из шести извлеченных шаров не менее четырех белых. Вероятность искомого события вычисляется по формуле:
.
Ответ: 
.
Задача № 3.
5. На сборку попадают детали с трёх автоматов. Известно, что первый автомат даёт 0,2% брака, второй - 0,3%, третий - 0,4%. Найти вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого автомата поступило 1500 деталей, со второго – 2000, а с третьего – 2500.
Решение.
Пусть событие – попадание на сборку бракованной детали.
Обозначим события:
событие 
– деталь с 1-го автомата,
событие 
– деталь со 1-го автомата,
событие 
– деталь с 3-го автомата.
Найдем вероятность события 
: 
. Так как всего на сборочное предприятие поступило 
деталей, а с 1-го автомата поступило 
деталей, то по формуле классической вероятности: 
.
Аналогично находим вероятности 
; 
.
Вероятности условных событий: вероятность брака на первом автомате 
; вероятность того, что деталь является бракованной при условии, что она была изготовлена вторым автоматом 
; и вероятность того, что деталь оказалась бракованной при условии, что она с 3-го автомата 
.
Вероятность того, что на сборку попала бракованная деталь вычисляется по формуле полной вероятности:
;
.
Ответ: 
.
Задача № 4.
5. Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие появится в этих испытаниях 90 раз.
Решение.
Число испытаний 
велико; вероятность 
появления события немала; 
; 
, поэтому воспользуемся локальной формулой Лапласа.
Имеем: , , 
, 
, 
, 
, 
. По таблице 1 приложения 
. По локальной приближенной формуле Лапласа 
получим 
.
Ответ: 
.
Задача № 5.
Найти математическое ожидание М(X), дисперсию Д(X), среднее квадратическое отклонение σ(X) дискретной случайной величины X, заданной таблицей:
X | 1 | 2 | 3 |
P | 0,2 | 0,1 | 0,7 |
Решение.
Математическое ожидание определяется по формуле
.
Таким образом, получаем
.
Для определения дисперсии воспользуемся формулой:
.
Составим закон распределения случайной величины X2:
| 1 | 4 | 9 |
p | 0,2 | 0,1 | 0,7 |
Найдем математическое ожидание 
:
.
Тогда дисперсия:
.
Определим среднее квадратичное отклонение:
.
Ответ: 
; 
; 
.
Задача № 6.
Непрерывная случайная величина X задана интегральной функцией распределения F(x). Найти дифференциальную функцию распределения f(x), математическое ожидание М(X) и дисперсию D(X).Построить графики F(x). и f(x).
5.
Решение.
Для того, чтобы найти плотность распределения вероятностей (дифференциальную функцию распределения) 
, необходимо найти производную от интегральной функции распределения 
: 
.
Построим графики интегральной функции распределения
и дифференциальной функции распределения
Математическое ожидание непрерывной случайной величины определяется формулой: 
. В данном случае получаем
.
Дисперсию непрерывной случайной величины можно определить по формуле: 
.
Задача № 7.
5. Рассчитать и построить гистограмму относительных частот по сгруппированным данным, где 
– частота попадания вариант в промежуток 
.
|
|
7 – 9 | 5 |
9 – 11 | 4 |
11 – 13 | 8 |
13 – 15 | 12 |
15 – 17 | 11 |
Решение.
Найдем относительные частоты 
и плотности относительных частот 
.
i |
| Частота ni | Относительная частота
| Плотность частоты ni/h |
1 | 7–9 | 5 | 0,125 | 0,0625 |
2 | 9–11 | 4 | 0,100 | 0,0500 |
3 | 11–13 | 8 | 0,200 | 0,1000 |
4 | 13–15 | 12 | 0,300 | 0,1500 |
5 | 15–17 | 11 | 0,275 | 0,1375 |
S | n = 40 | 1 |
Построим гистограмму относительных частот.
