Законы физики ищите… в математике кватернионов

ЗАКОНЫ ФИЗИКИ ИЩИТЕ… В МАТЕМАТИКЕ КВАТЕРНИОНОВ!

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАКЛИНАНИЯ

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Это математическое заклинание в школе зазубривают даже двоечники. Широко известно и имя автора теоремы - Пифагор. Хотя в истинности этого авторства есть и некое сомнение, поскольку основатель античной научной школы VI века до нашей эры не считал нужным создавать письменные труды. Он учил устно и тайно!

Но не только знаменитой теоремой известна школа Пифагора и ее учение, великое уже потому, что о нем писали Платон и Аристотель. Последний, правда, - весьма критично: «В эпоху этих философов (элейцев и атомистов) и ранее их жили пифагорейцы, изучавшие сначала математику, которую они усовершенствовали. Занимаясь исключительно математикой, они вообразили, что принципы ее лежат в основе всего... Они утверждают, что число есть основное начало всех предметов, причина их материального существования, их видоизменений и их различных состояний». Позднее эта длинное (здесь сокращенное) обвинение в математическом идеализме трансформировалось в афоризм, приписываемый лично Пифагору: «Мир есть число!»

Критика Аристотеля - более чем тысячелетнего авторитета науки и религии - возымела действие. Окружающий человека мир повсеместно стал изучаться методом «ползучей эмпирики». Люди с этим постепенно свыклись и иного позволить уже не могли - ни себе, ни другим. Попытки отклониться от этого приземленного способа познания, бывало, имели грустный финал. Полет мысли и мечтания о множестве планетных систем в 1600 году привел Джордано Бруно на костер на римской Площади Цветов. Так что у Николая Коперника были веские причины отложить публикацию основ гелиоцентризма до собственной мирной кончины, а великий Исаак Ньютон в просвещенной Англии оправдывался: «Гипотез не измышляю!» Пифагорейский афоризм о мире и числе впервые напомнил о себе в начале 20 века, когда развитая за полвека то того немецким математиком Георгом Фридрихом Риманом абстрактная теория искривленных пространств, как оказалось, содержит в себе описание физического взаимодействия. А именно: в 1915 году Альберт Эйнштейн продемонстрировал, что наличие сил гравитации может расцениваться как чисто геометрический факт - наличие кривизны окружающего нас пространства и времени. С тех пор исследования фундаментальной теоретической физики в значительной степени свелись к построению разнообразных геометрических моделей, как правило, эмпирических и иногда весьма спорных. И этот процесс продолжается уже почти сто лет, впрочем, - без ошеломляющих успехов.

Перечисление главных достижений в познании самых базовых физических законов не займет много времени и места. Это результаты обобщения опытных данных: классическая механика, электродинамика, специальная теория относительности, статистическая физика и квантовая механика, последняя - с большой долей чистой математики. К фундаментальным результатам, полученным, в основном, из чисто логических и математических соображений, резонно отнести уже названную теорию гравитации Эйнштейна, теорию спинорных полей Поля Дирака, теорию векторных калибровочных полей Чженьнина Янга и Роберта Миллса и, пожалуй, теорию кварков Марри Гелл-Мана. Стоит также упомянуть суперсимметрии, теории объединенных взаимодействий и суперструн; и хотя можно дискутировать о степени фундаментальности этих моделей, все они по сути - чистая математика.

В то же время было замечено, что в самых разных теоретических разработках иногда вдруг возникают особые математические конструкции и наблюдаются странные совпадения. Так, сформировавшаяся в конце XVIII века теория поворотов твердого тела потребовала введения необычных структур с экзотическими свойствами умножения. В 1927 году для описания экспериментально открытого спина квантово-механической частицы Вольфганг Паули был вынужден «изобрести» три специальных математических объекта - три матрицы, каждая из которых являлась произведением двух других. Удивительное и загадочное совпадение обнаружилось еще через несколько лет. , занимаясь чисто математикой, записал условие дифференцируемости одной обобщенной функции. Каково же было его изумление, когда при внимательном рассмотрении это условие оказалось ни чем иным как уравнениями электродинамики Максвелла в пустоте!

Заметить тенденцию было несложно: наблюдательная физика настойчиво требует введения специальной математики. Это означало, что некая специальная математика содержит в своей структуре описания целой серии реальных физических фактов, то есть законы физики следует из математики. Пифагорейский тезис зазвучал в полную силу, осталось выяснить, что же это за математика.

СПЕЦИАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА

История открытия этой математики - уже легенда. Вот надпись на табличке в Дублине, столице Ирландии:
Проходя здесь
16 марта 1843 года,
сэр Уильям Роуэн Гамильтон
в гениальном озарении открыл
фундаментальную формулу
умножения кватернионов
i2 =j2 =k2 =ijk=-l
и начертал ее на камне этого моста

Современная физика многим обязана великому математику Уильяму Гамильтону: имя его носят уравнения, величины и принципы почти всех разделов физической науки, даже в квантовой механике, о которой сэр Уильям, конечно, не мог знать, главную функцию называют «гамильтониан». Только в теории электромагнетизма его имя упоминается редко, а зря: Джеймс Максвелл записал открытые им уравнения электродинамики именно на языке математики Гамильтона. Главным предназначением жизни Гамильтона, видимо, было все же не развитие физики, а открытие математики кватернионов. Не просто так она явилась ему в виде гениального озарения. Конечно, открыта была, не вся математика, а только ее базовая часть - алгебра, но это была новая алгебра. Она содержала не одну, а целых четыре единицы, а составляющие ее числа - кватернионы - можно было складывать и вычитать по обычным правилам, но умножать и делить - по иным, впрочем, простым и понятным. И тут Гамильтон сделал еще одно потрясающее открытие. Выяснилось, что некоторые числа новой алгебры в точности описывают поведение направленных отрезков в окружающем нас трехмерном мире. Пораженный этим неожиданным совпадением, великий ученый остаток своей жизни посвятил загадочным кватернионам, написал о них книги, объединил в авторитетной научной школе талантливых учеников. Но он слишком опередил свое время. Синтез алгебры и геометрии кватернионов дал мощный толчок развитию более простой ветви математики - векторному исчислению. Его адепты Оливер Хэвисайд и Джозайя Гиббс жестко боролись с последователями Гамильтона и своего добились: сложная математика кватернионов уступила место эклектичным, но технологичным векторам и надолго осталась на периферии большой науки.

И только периодически возникающие в физических теориях странные объекты и физико-математические совпадения постоянно напоминали о полузабытой гамильтоновой алгебре: спиновые матрицы Паули оказались ни чем иным, как представлением кватернионных единиц, а Фютер записал свои знаменитые теперь условия именно для кватернионной функции - они-то и совпали с уравнениями электродинамики. Несколько позже кватернионные методы стали интенсивно применяться для решения практических задач ракетной и космической навигации; по понятным причинам это делалось совсем не гласно, а скорее в тайне.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ДРЕВО

В самом конце XX века интерес к кватернионам, похоже, снова вернулся. Ими заинтересовались молодые ученые, вновь стали создаваться научные группы по изучению и применению этой странной математики. Кстати, на рубеже XX века немецкий математик Фердинанд Фробениус доказал, что алгебра кватернионов является последней по числу размерностей - исключительной - алгеброй с «хорошим» умножением и делением. Исследования самых последних лет показали, что этот факт, скорее всего, не случаен: сегодня последнюю «хорошую» математику можно сравнить с могучим деревом, многочисленные ветви которого представляют собой направления современной теоретической физики.

В первую очередь, это связано с глубоким геометрическим содержанием кватернионной математики. При внимательном рассмотрении выяснилось, что далеко не все ее детали и свойства досконально изучены, в том числе и возможности описания геометрических объектов. Один из таких объектов - прибор, с помощью которого мы измеряем расстояние и время; в физике такой прибор называется системой отсчета. Кватернионы дают физикам идеальный прибор такого рода: он удобно устроен, никогда не деформируется и при этом может как угодно сложно перемещаться в пространстве вместе с «сидящем» в нем наблюдателем. Пример такого прибора - физическая лаборатория на поверхности Земли, которая вращается вокруг своей оси, при этом движется вокруг Солнца по эллиптической орбите, а с Солнцем - вокруг центра Галактики; и это - не все движения, список можно продолжить. А стандартная механика, как известно, обычно требует, чтобы наблюдатель никак не ускорялся, иначе возникают так называемые силы инерции, которые совсем не просто вычислять.

Если же обычные уравнения механики Ньютона записать в кватернионной системе отсчета - переменном репере, то все «силы инерции» определяются автоматически и легко, как бы сложно этот репер не вращался вокруг своего центра. Но сегодня хорошо известно, что классическая механика неточна, она является «низкоэнергетическим пределом» более общей - так называемой релятивистской механики, где скорости физических тел и систем отсчета сравнимы с максимально возможным значением - скоростью света в вакууме.

Теория, которая описывает механику высоких скоростей, конечно, есть - это знаменитая теория относительности Эйнштейна. Она возникла как эвристическое следствие электродинамики, в свою очередь родившейся из опытных фактов, и имеет свои проблемы. В ее первой версии 1905 года - специальной теории - описание произвольных неинерциальных систем отсчета невозможно. Через 10 лет сложилась вторая версия - общая теория, где произвольное движение наблюдателя, вообще говоря, возможно; но здесь «ненастоящие» силы инерциального движения неотличимы от «настоящих» сил тяготения, и поэтому общую теорию относительности иначе называют теорий гравитации Эйнштейна. Во всех вариантах теория относительности предлагает одинаковую модель мира: мир четырехмерен, кроме известного нам трехмерного пространства есть еще одно измерение - по нему отсчитывается время.

Исследования показали, что кватернионы «прекрасно знают» про теорию относительности! Ее основные соотношения оказались заложенными в той самой формуле, которая снизошла на Гамильтона на дублинском мосту. Такая теория возникает автоматически, когда изменения длин и интервалов времени измеряются в переменном кватернионном репере. Отсюда, во-первых, сразу следует вся кинематика специальной теории относительности, а во-вторых, эффекты неинерциального релятивистского движения совершенно отделяются от эффектов «настоящих» физических взаимодействий, в том числе, гравитационных. В «кватернионной теории относительности», естественно следующей из фундаментальной математики, удается решить много новых задач, постановка которых в специальной теории Эйнштейна вообще невозможна, а в общей теории - чрезвычайно сложна.

Одна из таких задач - сдвиг положения спутника планеты, наблюдаемой с Земли. Идея очень проста. Планета движется относительно Земли, значит, наблюдаемая частота обращения ее спутника будет всегда чуть больше реальной в силу релятивистского эффекта кажущегося «замедления времени». Тогда земной наблюдатель будет видеть в телескоп, что спутник все время немного «уходит вперед». Эффект понятен, но вычислить его величину в рамках специальной теории невозможно, потому что относительное движение Земли и планеты существенно неинерциально. В кватернионной же теории расчет оказывается несложным, а из полученной формулы следует, что эффект смещения накапливается со временем. Астрономические данные говорят, что для самых быстрых спутников Марса и Юпитера этот эффект можно наблюдать с Земли, хотя на это уйдет не один десяток лет. Пока такой наблюдательный эксперимент никто не ставил. Наиболее удивительным следствием кватернионной теории относительности является совсем другая модель мира, не четырехмерная, а шестимерная, представленная симметричной парой трехмерных пространств. В одном из них находимся мы и наблюдаемая Вселенная, а второе пространство, отделенное от нас световым барьером, не достижимо для массивных тел и служит, с нашей точки зрения, для измерения отрезков времени. Самое потрясающее то, что, окажись мы в «том», другом трехмерном пространстве, ничто существенно не измениться: мы увидим вокруг привычный трехмерный мир, а бывшее «наше» пространство будет представляться нам вместилищем нового геометрического времени. Здесь есть предмет и для философских размышлений, но и возможность для формулировки совсем других теорий гравитации, электродинамики, элементарных частиц.

БРИЛЛИАНТЫ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Но это далеко не все, что содержится в математике гамильтоновых кватернионов. В свое время Паули подобрал спиновые матрицы, которые «случайно» оказались кватернионными единицами. Однако естественная кватернионная геометрия оказалась такой, что расчет в ней главной функции квантовой механики - гамильтониана - для заряженной частицы, находящейся во внешнем магнитном поле, приводит к логическому выводу слагаемого спинового взаимодействия, которое Паули записал из эвристических соображений. Дальнейшее скрупулезное изучение этой замечательной математики показало, что числа фундаментальной алгебры - сами кватернионы - построены из еще «более фундаментальных» математических объектов, которые в простейшем случае оказываются так называемыми спинорными функциями, которые Поль Дирак - тоже из эмпирических соображений - ввел для описания электрона и протона в 1928 году. Таким образом, теория спиноров также может трактоваться как следствие существования математики кватернионов; кстати, этот ее аспект до сегодняшнего дня малоизучен.

Наконец, выявился еще один удивительный факт. Пространства, геометрически формируемые кватернионными числами, логически допускают наличие экзотического объекта, который вынуждает вращаться даже постоянные кватернионные системы отсчета. Выяснилось, что этот геометрический объект формально эквивалентен потенциалу гипотетического поля Янга-Миллса, которое привлекается для моделирования внутриядерных сил.

Вот сколько бриллиантов современной теоретической физики можно - если постараться - «откопать» в, казалось бы, архаичной математике, «придуманной» сто шестьдесят лет назад. А сколько еще новых моделей реальных физических явлений там скрывается, можно только гадать, поскольку и сама кватернионная математика далеко не изучена, и совсем не исключено, что структуры, которые в ней откроются, не с чем будет и сопоставить - как устроен физический фундамент нашего мира, мы пока не знаем. Но весьма вероятно, что глубокая и прекрасная математика сэра Уильяма Гамильтона - и именно она - сможет посодействовать нам в обретении этого желанного знания.