Высшая математика (2 семестр, ВЛ)
1. Определенный интеграл: определение, свойства. Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Интегрирование четных и нечетных функций на симметричном сегменте.
2. Замена переменных и интегрирование по частям. Несобственные интегралы 1-го (с бесконечными пределами) и 2-го (от разрывной функции) родов.
3. Вычисление площадей плоских фигур (3 случая). Вычисление длины дуги (3 случая). Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений. Объем тела вращения. Вычисление площади поверхности тела вращения.
4. Приложения определенного интеграла: нахождение площади криволинейной трапеции, давления жидкости на стенку сосуда, вычисление работы постоянной и переменной силы, работы по выкачиванию жидкости и др.
5. Функции нескольких переменных: определение, способы задания, линии и поверхности уровня (метод сечений). Предел и непрерывность.
6. Частные производные и частные дифференциалы функции нескольких переменных. Полный дифференциал. Применение дифференциала: в приближенных вычислениях; к оценке погрешности при вычислениях. Дифференцирование сложной функции.
7. Неявные функции и их дифференцирование. Частные производные функции, заданной неявно. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Условие существования полного дифференциала. Восстановление функции по полному дифференциалу.
8. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности. Экстремум функции двух переменных. Необходимые условия существования экстремума. Достаточные условия экстремума. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области.
9. Дифференциальные уравнения 1-го порядка и связанные с ними понятия. Теорема существования и единственности решения. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и однородные уравнения.
10. Линейные однородные и неоднородные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Уравнения в полных дифференциалах.
11. Дифференциальные уравнения второго и высших порядков, связанные с ними понятия. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.
12. Линейные однородные и неоднородные уравнения второго порядка. Структура общего решения однородного уравнения. Структура общего решения неоднородного уравнения.
13. Определение двойного интеграла, его геометрический смысл и свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах. Перемена порядка интегрирования в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.
14. Вычисление объема тела, площади плоской области, площади поверхности. Физические приложения двойного интеграла: масса материальной пластины; статические моменты и координаты центра тяжести материальной пластины.
15. Криволинейный интеграл 1 рода: определение, свойства, вычисление. Приложения: длина кривой, масса и координаты центра тяжести материальной линии.
16. Криволинейный интеграл 2 рода: определение, свойства, вычисление. Приложения: вычисление площади области, ограниченной кривой; задача о вычислении работы переменной силы на криволинейном участке пути. Формула Грина.
