Математическое моделирование волноведущих систем на основе фотонных кристаллов
,
Московский Государственный Университет им. , *****@***ru
В данной работе рассматривается задача синтеза волноведущих систем на основе фотонных кристаллов. Синтезируется конфигурация фотонного кристалла, при которой достигаются заданные характеристики спектра рассеянного таким кристаллом поля. Приводятся примеры решения конкретных задач.
Ключевые слова: фотонные кристаллы, математическое моделирование, задача синтеза, параллельные вычисления.
Введение
Фотонными кристаллами называют оптические материалы, для которых характерны следующие два свойства: первое - диэлектрическая проницаемость у таких материалов периодически меняется, причём период сравним с длиной волны света, и второе - существует связанная с этой периодичностью полная запрещённая зона в спектре собственных электромагнитных состояний кристалла. Второе свойство означает, что в определенном спектральном диапазоне свет любой поляризации не может распространяться в ФК ни в каком направлении.
Фотонные кристаллы предоставляют новые возможности управления световыми потоками благодаря наличию полной запрещенной зоны в плотности электромагнитных состояний в заданной области частот. Результаты расчётов волноведущих систем на основе фотонных кристаллов показывают, что спектр рассеянного поля зависит от конфигурации кристалла – расположения элементов кристалла и значений диэлектрической проницаемости. Небольшие изменения этих параметров влекут смещения запрещённых зон и изменения коэффициента пропускания на заданных частотах, т. е. за счёт этого можно синтезировать волноведущие системы с заданными спектральными свойствами. В этой связи задача синтеза таких волноведущих систем на основе фотонных кристаллов чрезвычайно актуальна.
Решение прямой задачи
Для исследования распространения электромагнитных импульсов через фотонно-кристаллические структуры построен численный алгоритм [2], который основан на решении уравнений Максвелла с помощью конечно-разностного метода во временной области (FDTD-метод), метода идеально согласованного слоя - PML-метода для реализации граничных условий и метода общего и рассеянного полей (TF/SF-метод) для возбуждения поля. Алгоритм позволяет рассчитывать спектральные характеристики рассеянного поля для заданной конфигурации фотонного кристалла (рис.1). Для оптимизации вычислений прямой задачи используется распараллеливание алгоритма. Расчёты в работе проводились с помощью вычислительного кластера НИВЦ МГУ на суперкомпьютере СКИФ МГУ «Чебышев».
Рассмотрим конфигурацию фотонного кристалла, изображенную на рис.2. Эта конфигурация представляет собой прямой волновод с вставкой из диэлектрического материала. Результаты вычислений прямой задачи показали, что изменения размера вставки и ее диэлектрической проницаемости существенно влияют на спектральные характеристики такой системы. На рис.3 показаны спектры рассеянного поля для волновода с различными вставками. Изменения диэлектрической проницаемости приводят к сдвигу частотного диапазона, в котором коэффициент пропускания равен нулю, таким образом, на основе этого можно создавать фильтры, пропускные способности которых регулируются за счет изменения параметров вставки.
Рис. 1. Модель двумерного фотонного кристалла и его спектральная характеристика. А – спектр падающего импульса, B – спектр рассеянного импульса. Здесь с скорость света, a – период фотонно-кристаллической решетки
Рис. 2. Модель фильтра на основе фотонного кристалла
Рис. 3. Коэффициенты пропускания для фильтров с различными параметрами
(1) коэфициент пропускания для волновода с вставкой с параметрами: p1=p2=3a, p3=8
(2) коэфициент пропускания для волновода с вставкой с параметрами: p1=a, p2=3a, p3=8
(3) коэфициент пропускания для волновода с вставкой с параметрами: p1=p2=3a, p3=8.5
Методы и результаты решения обратной задачи
Рассмотри задачу синтеза фильтра на основе фотонного кристалла, конфигурация которого изображена на рис.2. В качестве параметров будем использовать диэлектрическую проницаемость вставки и ее размер. Можно рассматривать несколько вариантов постановки задачи синтеза: подбор параметров вставки, при которых для определенной частоты волновод будет «закрыт», или подбор параметров вставки, при которых для определенного частотного диапазона волновод будет «закрыт». Для минимизации функционала в рассматриваемой задаче синтеза применяется метод скользящего допуска. Данный метод позволяет искать минимум функции при наличии ограничений на область как в виде неравенств, так и в виде равенств. Метод скользящего допуска основан на методе Нелдера и Мида, который в свою очередь является модификацией симплекс метода. Эти методы целесообразно применять в случаях, когда градиентные методы не применимы из-за невозможности вычисления производных функционала. [3, 4]
В качестве первого примера задачи синтеза рассмотрена задача построения фильтра, который для заданной частоты работает в режиме непропускания. Параметрами оптимизации выбраны диэлектрическая проницаемость вставки (p3) и ее размер (p1=p2). Функционалом, который минимизируется, выбран коэффициент пропускания для заданной частоты. Поиск решения задачи синтеза был остановлен в соответствии с выбранным критерием на 32-м шаге. В результате решения получены следующие значения параметров: p1=2.55a, p3=6.649. В качестве второго примера решена задача синтеза волновода с параметрами вставки, при которых для определенного частотного диапазона волновод будет «закрыт». Минимизируемым функционалом в этом случае выбран интеграл коэффициента пропускания в заданном диапазоне частот. Поиск решения задачи синтеза был остановлен в соответствии с критерием на 31-м шаге. В результате решения получены следующие значения параметров: p1=3.027a, p3=8.08.
Выводы
Построен и реализован алгоритм, позволяющий решать задачи синтеза волноведущих систем на основе фотонных кристаллов. Получены результаты для задачи синтеза конкретной волноведущей системы – фильтра на основе фотонно-кристаллического волновода с диэлектрической вставкой.
Литература
1. E. Yablonovitch. Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics, Phys. Rev. Lett., 58, P.2059-2062 (1987)
2. , , . Исследование распространения электромагнитных импульсов через фотонные кристалические структуры. Вестн. Моск. Ун-та. Сер.3. Физ. Астрон. 2010.
3. , . Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1986.
4. Д. Химмельблау. Прикладное нелинейное программирование. М.: Наука. 1975.
The problem of synthesis of waveguiding systems based on photonic crystals
Bogolubov A. N., Dementieva J. S.
Moscow State University, *****@***ru
A problem of waveguiding systems based on photonic crystals synthesis is considered. The configurations of photonic crystals with given spectral features are synthesized. The results of simulation of particular filters based on photonic crystals are presented
Кеу words: photonic crystals, mathematical modeling, problem of synthesis, parallel computing.
