УДК 517.947

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВРЕДНЫХ ПРИМЕСЕЙ В РЕКЕ РЕКУРРЕНТНО-ОПЕРАТОРНЫМ МЕТОДОМ

.

Аннотация

В работе рассматривается решение одномерной задачи диффузии рекуррентно-операторным методом, который описывает процесс распространения вредных примесей вдоль течения реки.

Приведены полученные численные результаты на ЭВМ, где можно определить за какое время происходит распространение и очищение реки. Полученные результаты проиллюстрированы на рисунках.

Введение

В республике имеется много промышленных предприятий, которые являются неблагоприятными очагами загрязнения, и они ежедневно выбрасывают огромное количество примесей в воздух. По направлению ветра эти выбросы ложатся на почву водные ресурсы (реки, водохранилища и др.), на растения сельхозпродукты, фрукты и т. п. Кроме того, с промышленными стоками предприятий в реки поступает определенное количество различных веществ, разнообразие которых увеличивается. В связи с этим наиболее рационально вести интегральную оценку загрязнений по обобщенным гидрохимическим характеристикам качества водных ресурсов: взвешивание вещества, биохимическое потребление кислорода, токсическая метеорология признака вредности (азот, медь, синтетические поверхности веществ, цинк и др.). Наряду с этим при равномерном росте производства истощение земли, неправильное использование химических удобрений, различные вредные выбросы существенно влияют на водные и земельные ресурсы.

Эти вредные вещества, естественно, нарушают структуру земли, загрязняют водные ресурсы. Потому математическое моделирование процесса распространения вредных примесей в реке, влияния экологически неблагоприятных очагов загрязнения на земельные и водные ресурсы имеют первостепенное значение, поскольку без земельных и водных ресурсов нельзя выращивать сельхозпродукты.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Математическая постановка задачи. Рассматривается решение дифференциального уравнения диффузии параболического типа, полученное как частный случай уравнения по [1,2], при , которое определяет интересующие нас физические процессы, в частности, распространения загрязнения по ширине водотока при бесконечной скорости распространения, а ряд других физических процессов определяется аналогичными уравнениями, среди них потенциальное течение, диффузионный перенос массы, течение через пористую среду и некоторые полностью развитые течения в каналах.

Решения этого дифференциального уравнения диффузии были рассмотрены численными методами, методом конечных разностей в монографии , также авторами , . Мы рассмотрим аналитическое решение этого дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами новым рекуррентно-операторным методом. [4-7].

, (1)

где - концентрация выбросов; загрязняющее вещество - ион нитрата; - осредненная по времени составляющая скорости по оси ; - коэффициент диффузии; - скорость разрушения субстанции; - функция источника.

Метод решения. Решение уравнения (1) ищется в виде

(2)

Подставляя решение (2) в (1), получаем следующее рекуррентное уравнение:

(3)

при начальных условиях , при или (4)

Выписывая несколько первых членов ряда (2), имеем

(5)

Функция, удовлетворяющая начальным условиям при , следующая:

. (6)

Подставляя (6) в (5), имеем

Этот ряд сворачивается в функцию .

Обсуждение результатов и выводы. Задаваясь в функции значениями , строим совмещенный график функции

В рекуррентно-операторном методе решение получается в виде (5), а у авторов , получено

.

Если два решения разного вида, в данном случае (5), удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению (1) и одним и тем же начальным условиям , то по теореме Софьи Ковалевской о единственности решения задачи Коши эти оба решения совпадают ( т. е. графики этих функций одинаковы).

Подставляем значения коэффициентов по , , в уравнения (1).

Результаты решения уравнений выброса вредных примесей в момент времени с использованием рекуррентно-операторного метода приведены в табл.1.

таблица №1

Результаты решения уравнения выброса вредных примесей

n

, с

, м

г/м3c

1

0.1

0

0.03321674220

2

1

1

0.01107881961

3

10

1

0.00154548668

Рис.1. Процесс распространения Рис.2. Процесс распространения

выброса вредных примесей во времени вредных примесей

Согласно рис. 1, с течением времени интенсивность выброса вредных примесей уменьшается, и по графику можно определить величину , означающую, что концентрация достигает предельно допустимой нормы выброса.

Полученные результаты показывают сходимость полученных решений.

Литературы:

1. и др. Имитационные и самоорганизующиеся модели сложных систем// Сб. научн. трудов.-Киев, 1982.-106 с.

2. Ивахненко сложных систем.// Сб. научн. трудов.- Киев,. 1985.-80с.

3. , , Меликджанян моделирование и компьютерные технологии для исследования и контроля качества речной воды.- Тбилиси. ГТУ, 2007.-251с.

4. О решении задачи одномерной диффузии// Узбекский журнал «Проблемы информатики и энергетики». –Ташкент, 2005. – № 4.- С. 97-101.

5. Пирниязова общей задачи одномерной диффузии рекуррентно-операторным методом //Узбекский журнал «Проблемы информатики и энергетики». –Ташкент, 2005.- № 5.-С. 89-94.

6. Спиваков классы решений линейных дифференциальных уравнений и их приложение в анизотропной и неоднородной теории упругости.- Ташкент:Фан, 1987.-296 с.

7. Фролов классы функций в анизотропной теории упругости.-Ташкент.: Фан, 1981.-221с.