УДК 681.3.16:539.3.01
Математическое моделирование упругого деформирования
трансверсально-изотропных тел со сфероидальной полостью
Национальный Университет Узбекистана
Рассматривается транверсально - изотропное трехмерное тело со сфероидальной полостью в центре, находящееся под действием равномерно-распределенных сжимающих нагрузок ( q = 200 МПа), приложенных по оси OZ. Исследуется напряженное состояние окрестности полости, когда размеры полости значительно меньше размеров тела. С этой целью центр сфероидальной полости совмещается с началом осей координат, и главные радиусы полости располагаются на осях. Задача решается методом конечных элементов в перемещениях, с использованием изопара-метрических конечных элементов в форме параллелепипеда с восемью узлами в углах. Рассматривается единичный куб (тело) с полостью в центре (рис.1.а). С учетом симметрии заданного тела исследуется ее одна восьмая часть (рис.1.б), при следующих условиях:
на плоскости XY : при 
;
при 
;
на плоскости YZ : при 
;
при 
;
на плоскости XZ : при 
;
при 
.
Внутренние поверхности полости свободны от нагрузок.
Рис. 1.а Рис. 1.б
С целью исследования влияния размеров сфероидальной полости R=(0.1; 0.1; R3), где R3 = {0.1, 0.08, 0.06, 0.04, 0.02}, на напряженное состояние рассматривается трансверсально-изотропный единичный куб со следующими упругими константами [1]:
E= 5.68*105 МПа, G=2.735*105 МПа, µ= 0.21*105 МПа,
E1=5.35*105 МПа, G1=2.39*105 МПа, µ1=0.19*105 МПа.
В табл.1 приводятся значения компоненты перемещения (u), значения компонент напряжений, а также интенсивности напряжений и деформаций в точке пересечения диаметрального сечения сферической полости с осью ОХ (точка В, рис.1б), которая находится у края полости, где и наблюдается максимальная концентрация напряжений.
Анализ результатов, приведенных относительно компоненты перемещения (u), показывает, что с уменьшением высоты полости их значения увеличиваются, достигая максимальной величины при R3= 0.02, что в 1.57 раза больше, чем в случае сферической полостью. При этом наблюдается резкое увеличение компоненты нормального напряжения σxx относительно сферической полости, так при R3 =0.08 увеличение составляет 1.57 раза, при R3 =0.06 – 2.53 раза, при R3=0.04 – 3.99 раза и при R3 =0.02 – 8.36 раза. Однако, изменение высоты сфероида не влияет существенно на значения компоненты нормального напряжения σyy . Основной вклад в формирование интенсивности напряжений σi вносит значение компоненты нормального напряжения σzz, которое на порядок выше остальных компонент и при R3=0.04 и R3=0.02 увеличивается, соответственно, в 1.85 и 2.92 раза.
Табл.1 Значения компонент напряженного состояния в точке В
R3 | 0.1 | 0.08 | 0.06 | 0.04 | 0.02 |
u*10+5 | 0.88888 | 0.99813 | 1.11168 | 1.26941 | 1.39526 |
σxx*10-2 | -0.20190 | -0.31714 | -0.51166 | -0.80586 | -1.68791 |
σyy*10-2 | 0.35511 | 0.38857 | 0.41594 | 0.44158 | 0.34460 |
σzz*10-3 | -0.39569 | -0.45152 | -0.53988 | -0.73190 | -1.15598 |
τxy*10-1 | -0.22349 | -0.28137 | -0.37196 | -0.44806 | -0.77500 |
τzx*10-1 | -0.26213 | -0.41036 | -0.70505 | -1.19773 | -3.22569 |
σi*10-3 | 0.40627 | 0.459218 | 0.54127 | 0.72816 | 1.10445 |
εi*10+3 | 0.90557 | 1.025318 | 1.20926 | 1.61485 | 2.47434 |
Хотя значение компоненты касательных напряжений τzx на два порядка ниже, чем значение компоненты нормального напряжения σzz, необходимо отметить, что при R3=0.04 и R3=0.02 значения увеличиваются, соответственно, в 4.57 и 12.3 раза. А значения интенсивности напряжений σi и деформаций εi при тех же значениях высоты сфероида увеличиваются в 1.79 и 2.72 раза соответственно. Резкие увеличения значений σi и εi в диаметральном сечении сфероидальной полости свидетельствуют о том, что полость плавно трансформируется во внутренюю изолированную горизонтальную круговую щель.
Исследования результатов расчета в верхней точке сфериодальной полости, приведенные в табл.2, указывают на то, что с уменьшением высоты сфероида значения компоненты перемещения (w) также незначительно, но монотонно уменьшаются и при R3=0.02 они уменьшение достигает 1.47 раза. Основной вклад в значение интенсивности напряжений σi вносят значения компонент σxx и σyy, которые по мере уменьшения высоты полости увеличиваются в 1.79 раза, относительно сферической полости. Это свидетельствует о наличии процесса изгиба области, раположенной над полостью в непосредственной окрестности верхней точки полости, причем с уменьшением высоты полости этот процесс усиливается. Основной вклад в значение интенсивности напряжений σi вносят значения компонент σxx и σyy, которые по мере уменьшения высоты полости увеличиваются в 1.79 раза, относительно сферической полости. Это свидетельствует о наличии процесса изгиба области, раположенной над полостью в непосредственной окрестности верхней точки полости, причем с уменьшением высоты полости этот процесс усиливается.
Табл.2 Результаты расчета в верхней точке сфероидальной полости
R3 | 0.1 | 0.08 | 0.06 | 0.04 | 0.02 |
w*10+4 | -0.7453* | -0.6735* | -0.6141* | -0.5619* | -0.5070* |
σxx*10-2 | 0.5185 | 0.5978 | 0.6840 | 0.7976 | 0.9291 |
σyy*10-2 | 0.5185 | 0.5978 | 0.6840 | 0.7976 | 0.9291 |
σi*10-2 | 0.7251 | 0.7385 | 0.7910 | 0.8372 | 0.9535 |
εi*10+3 | 0.1588 | 0.1606 | 0.1708 | 0.1792 | 0.2031 |
С целью изучения влияния упругих констант материала рассматривается напряженное состояние трансверсально-изотропного тела со сфероидальной полостью в центре с радиусами {0.1; 0.1; 0.05} и со следующими физическими характеристиками:
E= 5.35*105 МПа, G =2.39*105 МПа, µ= 0.19*105 ,
E1=2.67*105 МПа, G1=2.39*105 МПа, µ1=0.19*105 .
В этом случае отношение E/E1 = 2, а остальные параметры соответственно равны между собой. Исследование значений, приведенных в табл.3, показывает, что уменьшение высоты сфероидальной полости приводит к дальнейшему увеличению компоненты перемещения (u) точки А, расположенной на диаметральном сечении и уменьшению компоненты перемещения (w) верхней точки полости (значения в таблице помечены * ).
Относительно сферической полости значение сжимающей компоненты σxx увеличивается в 3.57 раза, значение компоненты σyy - в 1.22 раза и значение компоненты σzz - в 1.51 раза. Вместе с процессом сжатия в окрестности диаметрального сечения полости происходит и активизация процесса изгиба, что характеризуется увеличением значения τzx в 4.02 раза. Значения σi и εi увеличиваются, соответственно, в 1.45 и 1.47 раза. Это свидетельствует о наращивании процесса сжатия и изгиба области, прилегающей к диаметральному сечению полости.
В окрестности верхней точки полости также наблюдается процесс изгиба, что характеризуется наличием σxx = σyy = 100.45 МПа, значения которых в 1.43 раза больше, чем в случае сферической полости. Если сопоставить результаты, полученные при равных значениях высоты полости (R3=0.05) для изотропного (Е/Е1 =1) и трансверсально-изотропного (Е/Е1 =2) случаев (табл.3, два последних столбца), то можно отметить, что значение перемещения u увеличивается в 1.44 раза. В диаметральном сечении полости значения σxx и σyy, соответственно сжимающих и растягивающих, увеличиваются в 1.35 раза. Значение w в верхней части полости увеличивается в 1.64 раза, что усиливает процесс изгиба окрестности верхней точки полости (σxx и σyy увеличиваются в 1.38 раза). Это приводит к уменьшению σzz в 1.18 раза и увеличению в 1.52 раза значения τzx. Значение интенсивности деформаций также увеличивается в 1.7 раза. Так как максимальной по значению переменной в формировании σi является компонента значения σzz, то соответственно уменьшается и её значение. Все это свидетельствует о размягчении конструкции тела, что приводит к расплющиванию конфигурации внутренней полости.
Табл.3 Влияние отношения Е/Е1 и высоты полости
Радиус R3 | 0.1 | 0.05 | ||
Е/Е1 | 1 | 2 | 1 | 2 |
u *10+5 | 0.9489 | 1.3410 | 1.2324 | 1.7857 |
w*10+4 | -0.7370* | -1.2635* | -0.5893* | -0.9661* |
σxx*10-2 | -0.2185 | -0.2312 | -0.6521 | -0.8258 |
σyy*10-2 | 0.3548 | 0.4666 | 0.4221 | 0.5685 |
σzz*10-3 | -0.3968 | -0.3413 | -0.6092 | -0.5168 |
τxy*10-1 | -0.2166 | -0.2600 | -0.4058 | -0.5256 |
τzx*10-1 | -0.2937 | -0.3706 | -1.0189 | -1.5490 |
σi*10-3 | 0.4067 | 0.3583 | 0.6052 | 0.5189 |
εi*10+3 | 0.9102 | 1.5654 | 1.3545 | 2.3046 |
Таким образом, описав все процессы, происходящие в конструкции под влиянием уменьшения высоты сфероидальной полости, можно заключить:
- увеличение отношения Е/Е1 приводит к размягчению материала конструкции, вследствии чего конфигурация полости сплющивается;
- увеличение отношения Е/Е1 при уменьшении высоты полости, приводит к уменьшению интенсивности напряжений за счет уменьшения значения σzz на фоне наращивания значений σxx и σyy, и τzx, а также значения интенсивности деформаций εi.
Литература
1. Лехницкий упругости анизотропного тела. - М.: Наука, 1977. 415 с.
