Задания I тура дистанционной олимпиады по математике

ФГБОУ ВПО «БГПУ» им. М. Акмуллы

Центр развития одаренности школьников

ЗАДАНИЯ

I тура дистанционной олимпиады по математике

для учащихся 8 класса

Вариант 1

1.  Разложить на множители

(a-x)-(a-y)+(x-y)

Решение: (a-x)-(a-y)+(x-y)=

=ау^3-ху^3-ах^3+ух^3+ха^3-уа^3=а(у^3-х^3)-а3(х-у)-ху(у^2-х^2)=

=(х-у)*(а(у^2+ух+х^2)-а^3+ху(х+у)).

2.  Найти все целые и положительные n, при которых дробь принимает целые значения.

Решение: (3n^2 - 3n + 20 ) / (n - 1) = 3n(n-1) / (n-1) + 20 / (n-1) = 3n + 20 / (n-1)

Т. к. n целое число, данное выражение будет целым тогда и только тогда, когда n-1 будет делителем 20-и:

n-1 = +/- 1 , +/- 2, +/- 4, +/- 5, +/- 10, +/-20

отсюда, получим: n = 2, 0 , 3, -1, 5, -3, 6, -4, 11, -9, 21, -19

3.  Сколькими нулями оканчивается произведение всех целых чисел от 1 до 100 включительно.

Решение: Ноль получится тогда и только тогда, когда 2 умножается на 5. Двоек в этом разложении гораздо больше, чем пятерок (одних только четных чисел 50). Нужно посчитать только количество пятерок в этом разложении. Пятерки дают числа 5, 10, 15, ..100. Все эти числа кроме 25, 50, 75, 100 дают по одной пятерке. Числа 25, 50, 75, 100 дают по две пятерки. Итого в разложении 100! на простые множители содержится 24 пятерки. Значит произведение всех натуральных чисел от 1 до 100 заканчивается 24 нулями.

4.  Докажите, что биссектрисы внешних углов прямоугольника, пересекаясь, образуют квадрат.

5.  Какой угол образуют стрелки часов в 12 часов 20 минут?

Решение: В 12 часов стрелки совпадали. Через 20 минут минутная стрелка пройдет 1/3 часть окружности, а часовая пройдет 1/36 часть окружности. Поэтому угол между ними составит 11/36 частей окружности или 110.

ВЫПОЛНИЛ

Фамилия_____Сафиуллин _____________________

Имя___________Ленар___________________

Отчество_________Рамилевич_________________

Класс_______________8_______________

Школа_____________ООШ с. Кусекеево________________

Город (село)_________________________

Район______________Чекмагушевский_________________

Ф. И.О. учителя______________