математическое моделирование волноведущей системы с особенностью
,
Московский государственный университет им. , физический факультет, Ленинские горы, 119991, Москва, *****@***ru
В настоящей работе рассматривается бесконечный волновод, имеющий на конечном участке входящие ребра. Предлагается векторная постановка задачи, исследуемая с помощью проекционных методов различной модификации. Доказываются теоремы существования и единственности приближенного решения предложенной задачи, а также его сходимость к точному.
Ключевые слова: волновод, входящие ребра, входящие углы, проекционные методы.
Введение
Волноведущие системы с входящими ребрами представляют широкий интерес в науке и технике [1]. Системы данного типа находят применение в качестве фильтров для пассивного микроволнового устройства, а также настроечного элемента в нем [2, 3]. С помощью входящих углов в волноводе можно моделировать дефекты в его поверхности, например царапины, стыки волноводов, щупы, возбуждающие волновод, и др.
В данной работе для исследования волновода с особенностью в виде входящих ребер предлагается векторная постановка задачи, для которой доказываются существование и единственность решения. Как и в случае скалярной постановки [4], дающей только качественное описание исследуемой системы, для численного расчета векторной задачи применяются проекционные методы различной модификации, а именно неполный метод Галеркина и метод конечных элементов [5] (проекционно-сеточный метод).
В неполном методе Галеркина для построения приближенного решения рассматриваемой задачи в качестве векторного базиса используются функции, построенные на основе решений спектральных задач Дирихле и Неймана для оператора Лапласа в сечении нерегулярной части волновода, т. е. области, имеющей входящие углы. Наличие в области входящих углов приводит к появлению сингулярности в решении таких задач, поведение которой можно описать, использую технику [6]. Выписав асимптотику по гладкости решения спектральной задачи, для ее численного расчета удобно применять метод конечных элементов, в котором полученная сингулярность используется в качестве пробной функции.
Используя методику, предложенную в [7], доказывается существование и единственность приближенного решения, а также его сходимость к точному.
Постановка задачи
Рассмотрим бесконечный волновод, конечный участок длины 
которого имеет сечение с входящими углами (рис. 1).
Рис. 1. Сечение нерегулярной части волновода, имеющего два входящих ребра
Пусть слева направо в волноводе распространяется бегущая 
-я нормальная волна электрического типа с амплитудой 
. Введем следующие обозначения: 
– собственные функции и собственные значения спектральной задачи Дирихле, а 
– спектральной задачи Неймана для оператора Лапласа для сечения 
регулярной части волновода, например круга, 
– базисы для представления векторов в плоскости , построенные с помощью введенных собственных функций [7], 
– волновое число, 
– постоянные распространения, 
– диэлектрическая проницаемость нерегулярной части волновода, 
, 
– магнитная проницаемость волновода, 
– внешняя нормаль к волноводу, 
– сечение с вырезом, 
– поверхность нерегулярной части волновода. Записывая уравнения Максвелла и учитывая парциальные условия излучения [7] и условия сопряжения полей на границе нерегулярной части волновода с регулярной, можно прийти к следующей краевой задаче для описания полей в нерегулярной части волновода:
(1)
Можно показать, что решение задачи (1) существует и единственно, а также что каждая компонента поля принадлежит пространству 
.
Решение задачи
Приближенное решение поставленной задачи (1) удобно искать неполным методом Галеркина, в котором базис 
для представления полей в нерегулярной части волновода строится с помощью спектральных задач Дирихле и Неймана для сечения с вырезом:
(2)
Введем следующее пространство W:
(3)
где 
Здесь V – объем нерегулярной части волновода. Используя технику, изложенную в [7], можно показать, что приближенное решение существует и единственно, а также принадлежит пространству W. Накладывая на точное решение задачи (1) дополнительное условие гладкости, в работах авторов доказывается сходимость приближенного решения к точному в введенном пространстве W.
Выводы
В данной работе рассмотрена векторная модель волновода с входящими ребрами. С помощью проекционных методов построено ее приближенное решение. Доказано его существование, единственность и сходимость к точному решению. На основе предложенной модели авторами было исследовано влияние входящих углов на модовую структуру волновода. С помощью численного эксперимента, как и в случае скалярной постановки задачи, был получен эффект избирательно возбуждения нормальных волн волновода.
Литература
1. Schiff B., Yosibash Z. Eigenvalues for Waveguides Containing Re-Entrant Corners by a Finite-Element Method with Superelements // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. – Vol. 48. – 2000. – N. 2. – Pp.214-220.
2. Mohamed Yahia, Jun W. Tao, Hafedh Benzina and Mohamed N. Abdelkrim. Ridged Waveguide Filter Optimization Using the Neural Networks and a Modified Simplex Method // International Journal of Innovation, Management and Technology. – Vol. 1. – 2010. – N 3. – Pp.259-263. ISSN: 2010-0248
3. Santiago Cogollos, Stephan Marini, Vicente E. Boria, Pablo Soto, Ana Vidal Hector Esteban, Jose V. Morro, Benito Gimeno. Efficient Modal Analysis of Arbitrarily Shaped Waveguides Composed of Linear, Circular, and Elliptical Arcs Using the BI-RME Method // IEEE Trans. Microwave Theory Tech. – Vol. 51. – 2003. – N 12. – Pp.2378-2389.
4. , , Математическое моделирование цилиндрического волновода с деформацией боковой поверхности // Вест. Моск. Ун-та. Серия 3. Физика. Астрономия. – 2011. – N. 6. – С.127-130.
5. Метод конечных элементов для эллиптических задач. М.: Мир, 1980.
6. , Эллиптические задачи в областях с кусочно-гладкой границей. М.: Наука, 1991.
7. , Математические задачи теории дифракции. М.: Физический факультет МГУ, 2010.
mathematical modeling of waveguide with singularity
Bogolubov A. N., Erokhin A. I.
M. V. Lomonosov Moscow State University, Faculty of Physics, Leninskie Gory, 119991, Moscow, *****@***ru
An infinite waveguide with reentrant edges in its finite region is considered in present work. Vectorial problem is proposed for investigating the waveguide, this problem is calculated by projective methods of various versions. Existence and uniqueness of approximate solution of considered problem and its convergence to exact solution are proved.
Кеу words: waveguide, reentrant edges, reentrant corners, projective methods.
