”Арифметическая прогрессия, n-й член арифметической прогрессии ”

”Арифметическая прогрессия, n-й член арифметической прогрессии ”.

Цели урока:

Образовательная:

1. Ознакомление учащихся с новым видом последовательности – арифметической прогрессией;

2. Знакомство учащихся с формулой n-го члена арифметической прогрессии, с определением разности арифметической прогрессии;

3. Развитие умений применять ранее изученный материал;

Развивающая:

1. Развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать;

2. Развитие математической логики, самостоятельности, речи, внимания и кругозора, познавательного интереса к предмету.

Воспитательная:

1. Воспитание целеустремленности, организованности, ответственности, самостоятельности, умение общаться;

2. В процессе урока воспитание дисциплины, добросовестности к подготовке к уроку.

Оборудование: Учебник ”Математика 10”, авторы ,

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления.

План урока:

1.  Организационный момент. (1 мин.)

2.  Вводная часть (исторические сведения о прогрессиях). (2 мин.)

3.  Актуализация знаний. (5 мин.)

4.  Этап получения новых знаний. (15 мин.)

5. Физкультминутка (1 мин.)

6.  Закрепление учебного материала. (10 мин.)

7.  Тест (8 мин)

8.  Информация о домашнем задании. (1 мин.)

9.  Рефлексия, подведение итогов. (2 мин.)

Содержание урока.

1.  Организационный момент.

- Здравствуйте, ребята! Садитесь. Сегодня урок я хочу начать с таких слов:

Закончился двадцатый век,

Куда стремиться человек?

Изучены и космос и моря,

Строенье звёзд и вся земля.

Но математиков зовёт

Известный лозунг:

«Прогрессио – движение вперёд»!

На предыдущих уроках мы с вами познакомились с определением числовой последовательности. А сегодня на уроке мы рассмотрим новый вид последовательности, который называется арифметической прогрессией. В конце урока мы с вами должны: Знать:

1. определение арифметической прогрессии;

2. определение разности арифметической прогрессии;

3. формулу n-го члена арифметической прогрессии

Уметь:

1. определять, является ли последовательность арифметической прогрессией;

2. находить разность арифметической прогрессии;

3. находить любой член арифметической прогрессии.

Достаньте, пожалуйста, свои рабочие тетради и запишите число и ”Классная работа” и тему нашего сегодняшнего урока ”Арифметическая прогрессия”.

2. Вводная часть (исторические сведения о прогрессиях).

- Первые представления об арифметической прогрессии были еще у древних народов. В клинописных вавилонских табличках и египетских папирусах встречаются задачи на прогрессии и указания, как их решать. О прогрессии знали также и древнегреческие ученые. Так, им были известны формулы n первых чисел последовательности натуральных, четных и нечетных чисел.

Задачи на арифметические прогрессии имеются и в древнекитайском трактате «Математика в девяти книгах». Первые из дошедших до нас задач на прогрессии связаны с запросами хозяйственной жизни и общественной практики, как, например, распределение продуктов, деление наследства и т. д.

- Термин “прогрессия” латинского происхождения, буквально означает «движение вперед» (как и слово прогресс») и впервые был введен римским автором Боэцием (в 6 веке) и понимался в более широком смысле, как бесконечная числовая последовательность. В конце средних веков и в начале нового времени этот термин перестает быть общеупотребительным. В XVII в., например, Дж. Грегори употребляет вместо прогрессии термин «ряд». В настоящее время мы рассматриваем прогрессии как частные случаи числовых последовательностей.

Названия “арифметическая” было перенесено из теории непрерывных пропорций, которыми занимались древние греки.

- Известна интересная история о знаменитом немецком математике К. Гауссе (1777 - 1855), который в детстве обнаружил выдающиеся способности к математике. Однажды на уроке, чтобы занять первоклассников, пока он будет заниматься с учениками третьего класса, учитель велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени, но маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т. д. И таких чисел будет 50. Осталось умножить 101 • 50. Это маленький мальчик сделал в уме. Едва учитель закончил чтение условия, он предъявил ответ, записанный на грифельной доске, Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий. Его даже называли “царем математики”.

Иначе говоря, он заметил закономерность, которая присуща арифметической прогрессии.

3. Актуализация знаний.

- А сейчас давайте вспомним знания полученные на предыдущих уроках:

1. Какая функция называется последовательностью?

2. Как называются числа, образующие последовательность? Как они обозначаются?

3. Какой член последовательности а1, а2, а3, а4 … -- следует за а89, аn-1, аn+3 ;

-- предшествует а100, аn+1, аn-3 ?

4. Заданы последовательности:

а) c1 = 4, cn+1 = 6 cn + 3; Назовите первых 5 членов последовательности и ее свойства.

(4, 27, 165, 663, 2655)

б) последовательность трёхзначных чисел, кратных 125; Назовите все её члены.

(125, 250, 375, 500, 625, 750, 875,)

в) dn = 10 – 5n. Назовите первых 5 членов и её свойства. Можно ли сразу найти 25 член последовательности? (5, 0, -5, -10, -15)

Учащимся предлагается устно решить 1 задачу:

Задача №1: Курс воздушных ванн начинается с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры каждый день на 10 минут. Какова продолжительность таких ванн во 2-й день, 3-й день, 4-й день, 5-й день?

Ответы учащихся записываются на доске: Задача №1: 25 мин., 35 мин., 45 мин., 55 мин.

- На доске мы с вами записали последовательность чисел. Что интересного вы увидели у этой последовательности?

(- каждый член больше предыдущего на одно и то же число.)

-Есть ли среди записанных на доске аналогичные? (ДА, 2-я и 3-я)

- Так вот именно такие последовательности чисел и будут называться арифметической прогрессией.

- Кто может сделать вывод: какие последовательности называются арифметической прогрессией?

4. Этап получения новых знаний.

- Итак, определение: Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом.

- Иначе говоря, последовательность (an) – арифметическая прогрессия, если для любого натурального n выполняется условие an+1=an+d, где d – некоторое число.

- Скажите, а сможете ли вы найти это число d, если известны первые члены прогрессии? Как? (От второго отнять первый, от третьего – второй и т. д.)

- Итак, из определения арифметической прогрессии следует, что разность между любым ее членом, начиная со второго, и предыдущим членом равна d, т. е. при любом натуральном n верно равенство an+1-an=d.

Число d называют разностью арифметической прогрессии.

- При d>0 прогрессия является возрастающей, при d<0 – убывающей, при d=0 – постоянной.

- Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно указать ее первый член и разность. Зная первый член и разность арифметической прогрессии, можно найти любой ее член, вычисляя последовательно второй, третий, четвертый и т. д. члены. Однако для нахождения члена прогрессии с большим номером такой способ неудобен. Постараемся отыскать способ, требующий меньшей вычислительной работы. Вернёмся к нашей задаче:

Курс воздушных ванн начинается с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры каждый день на 10 минут. Сколько дней следует принимать ванны, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1ч 45 минут?

а1 = 15

а2 = 15+10

а3 = (15+10)+10=15+2·10

а4 = (15+10+10)+10=15+3·10

а5 = (15+10+10+10)+10=15+4·10

- Какую закономерность вы видите? () 1о минут умножается на число, на 1 меньшее чем день.

- Как в общем виде можно записать количество минут для n-го дня?

аn = 15+(n-1)·10

- Теперь давайте ответим на вопрос задачи.

105 = 15+(n-1)·10

90 = 10(n-1)

n - 1 = 9

n = 10.

- Теперь давайте попробуем в общем виде найти формулу n-го члена арифметической прогрессии. Может кто-нибудь сам?

- По определению арифметической прогрессии

a2 = a1 + d,

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d,

a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d,

a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d.

Точно так же находим, что a6 = a1 + 5d, и вообще, чтобы найти an, нужно к a1 прибавить (n-1)d, т. е.n-й член арифметической прогрессии равен ее первому члену, увеличенному на произведение ее разности и количества предыдущих членов

an = a1 + d(n - 1).

- Мы получили формулу n-го члена арифметической прогрессии.

5. Физкультминутка ( Сели ровно, закрыли глаза, представили, что вы на море, слушаем шум морского прибоя, крики чаек и считаем волны, разбившиеся у ваших ног. )

6. Закрепление учебного материала.

Для закрепления полученных на сегодняшнем уроке знаний об арифметической прогрессии решим задачи № 000 (а), 943 (а), 948 (а) из учебника.

№ 000 (устно).

Установите, является ли арифметической прогрессией конечная последовательность:

а) 17, 27, 37, 47, 57 –является;

б) -19, -9, 9, 19, 29, 39 – не является;

в) 2, 22, 222 – не является.

№ 000.

Найдите разность и седьмой член арифметической прогрессии, учитывая, что первый и второй ее члены соответственно равны:

а) а1=50, а2=110

d=а2-а1=110-50=60

а7=а1+d(n-1)

а7=50+60(7-1)=410

№ 000.

Найдите первый член c1 арифметической прогрессии (cn), у которой:

а) с10=142, d=12

cn=c1+d(n-1)

c1=cn-d(n-1)

c1=c10 - d(n-1)

c1=142-12(10-1)=34

7. Тест. Правильные ответы запишите в столбик справа.

Вариант 1.		Вариант 2.
1. Арифметическая прогрессия задана последовательностью чисел: 8;11;14;17; 20… Укажите верные высказывания: а) арифметическая прогрессия убывающая; б) арифметическая прогрессия возрастающая; в) первый член арифметической прогрессии равен 5; г) разность арифметической прогрессии равна 3. 2. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (аn), если а1= -15, d = 6. а) 117; б) -127; в) 147; г) -117. 3. Шестой член арифметической прогрессии: 9; 4; … равен а) 34; б) -16; в) -21; г) -5. 4. Найдите разность арифметической прогрессии, если а1= -10, а16 = 20 а) 2; б) 4; в) -2; г) 5. 5. Найти номер члена арифметической прогрессии (аn) равного -35, если а5= 1, d = -4. а) 18; б) 12; в) 14; г) 17.		1. Арифметическая прогрессия задана последовательностью чисел: 25;20;15;10; 5… Укажите верные высказывания: а) арифметическая прогрессия возрастающая; б) арифметическая прогрессия убывающая; в) первый член арифметической прогрессии равен 25; г) разность арифметической прогрессии равна 5 2. Найдите двадцать третий член арифметической прогрессии (аn), если а1= 15, d = -6. а) -117; б) -127; в) 147; г) 117. 3. Шестой член арифметической прогрессии: 3; 7; … равен а) -17; б)19; в) 23; г) 27. 4. Найдите разность арифметической прогрессии, если а1= 8, а15 = -76. а) 6; б) -6; в) 7; г) -8. 5. Найти номер члена арифметической прогрессии (аn) равного 47, если а4= -3, d = 5. а) -18; б)12; в) 13; г) 14.

Обменяйтесь с соседом, за каждый правильный номер -2 балла, в первом номере за каждый правильный ответ – 1 балл. Проверьте результаты соседа:

Вариант 1.	№1	№2	№3	№4	№5
Ответы	б, г	а	б	а	в
Вариант 2.	№1	№2	№3	№4	№5
Ответы	б, в	а	в	б	г

А сейчас вернёмся к целям нашего урока: всё ли мы выполнили? Учащиеся отвечают на вопросы.

8. Подведение итогов. «Прогрессио» - движение вперёд. Восхождение на гору – одно из самых трудных движений вперёд. Каждый из вас сейчас подойдет к горе и оставит свой флажок на том уровне, где он оказался в итоге нашего урока.

9. Информация о домашнем задании.

На дом задаются аналогичные задания, чтобы проверить, как ученики усвоили новый материал: № 000, 943 (б), 948 (б) из учебника.

Спасибо за работу на уроке!!!

Учитель: