Приёмы устных вычислений на уроках математики в 5 классе

Приёмы устных вычислений на уроках математики в 5 классе.

учитель математики ГБОУ СОШ № 000 г. Санкт-Петербурга.

Каждый из нас умеет считать в уме. Почти ни одна квалифицированная работа не обходится без предварительного подсчёта. Для того чтобы быстро и уверенно считать в уме, не надо иметь ни специальных знаний, ни способностей. Несколько простых правил, а главное – постоянная тренировка в устном счёте, помогут научиться хорошо считать при решении несложных задач и примеров.

Владение навыками устного счёта в сочетании с знанием искусственных приёмов сокращённых вычислений даёт учащимся выбирать наиболее рациональные и эффективные пути вычислений, что позволит выиграть время и облегчит выполнение письменного счёта.

Отдельные приёмы сокращённых вычислений являются дополнительным средством для закреп-ления у учащихся некоторых алгебраических формул, содействуют пониманию основных законов четырёх арифметических действий.

Устный счёт может иметь следующие формы:

1. Беглый счёт (цепочкой). При беглом счёте учитель называет числа, говорит, какие надо произвести над ними действия, а учащиеся говорят только ответ.

2. Беглый счёт с последующей записью результата.

Разница с предыдущим приёмом заключается здесь лишь в том, что если в первом случае учащиеся говорят ответ устно, то во втором они записывают его в тетрадях и показывают учителю.

3. Устный счёт с предшествующей записью на классной доске чисел, даваемых для счёта. Эта форма устных вычислений применяется как в том случае, когда числа, предложенные для счёта, большие, так и в том случае, когда закрепляется какой-либо новый приём быстрых вычислений, при котором всё внимание учащихся должно сосредотачиваться не на числах, а на сущности самого приёма.

4. Устный счёт при решении задач. Учащиеся решают задачу либо устно, либо по написанным учителем на доске числовым данным задачи, либо они для устного решения запоминают и со-держание задачи и её числовые данные.

5. Полуписьменные вычисления. Полуписьменными вычислениями называются такие вычисления, которые выполняются письменно, но в процессе вычислений применяются некоторые упрощения, основанные на приёмах и навыках устного счёта.

Например: 37 575 – 37 542. В этом примере соответствующие цифры старших разрядов одинаковы как в уменьшаемом, так и в вычитаемом, и вычитание производится только чисел, образованных младшими разрядами, т. е. 75 – 42 производится устно.

Основы быстрых вычислений

Приводимые ниже приёмы устных вычислений – это только часть из многих других способов. Детям на первых же ступенях обучения приёмам устного счёта необходимо объяснить, что устные вычисления имеют свои особенности в сравнении с письменными вычислениями.

Для развития у учеников умения быстро производить устные вычисления учитель должен тщательно рассмотреть некоторые свойства чисел, их сочетания, способы разложения и т. д. Это облегчит всю последующую технику выполнения быстрых вычислений.

1. Необходимо, чтобы таблицы сложения, вычитания, умножения и деления были усвоены детьми в совершенстве.

2. Надо, чтобы дети легко и быстро находили дополнения чисел до любого большего «круглого числа» ( т. е. кратного 10). Для этого учитель ставит перед учениками вопросы: сколько не хватает от 6, 7, 8, 9, до 10; от 16, 17, 18, 19 до 20; от 27, 28, 29 до 30; от 88, 89, до 100 и т. д.

3. Надо научить учащихся быстро делить и умножать любое число на 2.

4. Учащиеся должны уметь любые трёхзначные числа разлагать по разрядам, т. е. представлять их в виде суммы нескольких сотен, нескольких десятков и нескольких единиц.

5. Ученики должны хорошо знать основные законы четырёх арифметических действий, зависимость между компонентами и результатами действий и т. п.

6. Представлять число в виде разности двух других чисел. Например: 289 = 300 – 11,

189 = 200 – 11.

7. Разлагать число на такие слагаемые, по крайней мере одно из которых делится на пять. Например: 323 = 300 + 20 + 3; 12 = 10 + 2; 18 = 15 + 3; 28 = 25 + 3.

8. Использовать при вычислении возможность замены действия умножения или деления несколькими последовательными умножениями и делениями.

Например: 18∙8=18∙2∙2∙2; 144∶8=14∶2∶2∶2 и т. д.

Все эти сведения легко увязываются с программным материалом, развивают кругозор учащихся, заставляют их вдумываться в свойства чисел и их строение.

Приступая к устным вычислениям, учитель должен начинать с более лёгких приёмов, которые по мере усвоения их учащимися усложняются.

Целые числа

1. Способ разложения слагаемых на сотни, десятки и единицы.

Применяется при сложении слагаемых в пределе 100

89+63=(80+60)+(9+3)=152 или 89+63=(89+60)+3=152;

78+56=(70+50)+(8+6)=134 или 78+56=(78+50)+6=134;

148+85=(140+80)+(8+5)=220+13=233 или 148+85=(148+80)+5=228+5=233

2. Способ округления слагаемых.

Предварительные упражнения:

- Сколько единиц не хватает от 99 до 100; от 89 до 100; от 67 до 100; от 199 до 200; от

175 до 200; от 289 до 300; от 999 до 1000; от 1999 до 2000? и т. д.

- Какие числа следуют за 99; за 999; за 1999 и т. д.?

- Дополните до ста числа: 99; 89; 67; 74; 69 и т. д.

- Дополните до 1000 числа: 999; 989; 967; 972; 985 и т. д.

1) Округляем отдельные слагаемые (дополняем до ближайшего большего круглого числа)

97 + 44 = 100 + 44 – 3 = 141

194 + 75 = 200 + 75 – 6 = 275 – 6 = 269

399 + 108 = 400 + 108 – 1 = 508 – 1 = 507

498 + 299 + 107 = 500 + 300 + 107 – 2 – 1 = 907 – 3 = 904

578 + 389 + 223 = 600 + 400 + 223 – 22 – 11 = 1223 – 22 – 11 = 1190

2) Округление путём дополнения одних слагаемых за счёт других.

189 + 195 = 200 + ( 195 – 11 ) = 200 + 184 = 384

3. Группировка слагаемых

Этот приём встречается в комбинации с сочетательным свойством сложения.

18 + 52 + 13 + 37 + 65 + 35 = (18 + 2) + 50 + (13 + 37) + (65 + 35) = 220

38 + 57 + 69 + 12 + 11 + 23 = (38 + 2) + (57 + 3) + (69 + 1) + 10 + 10 + 20

189 + 219 + 107 + 81 = (189 + 1) + (219 + 1) + 106 + 80 = 596

4. Способ округления с использованием сочетательного и переместительного свойства сложения.

Слагаемые соединяют в такие группы, которые дают круглые числа.

67 + 89 + 92 + 11 + 33 + 8 = (67 + 33) + (89 + 11) + (92 + 8) = 300

169 + 197 + 189 + 11 + 31 + 3 = (169 + 31) + (197 + 3) + (189 + 11) = 600

175 + 157 + 171 + 123 + 25 + 29 = (175 + 25) + (157 + 123) + (171 + 29) = 680

123 + 570 + 127 = (123 + 127) + 570 = 820

174 + 85 + 126 + 15 = (174 + 126) + (85 + 15) = 400

5. Способ разложения слагаемых по разрядам

Этот способ требует от учащихся вдумчивого отношения к составу чисел, входящих в действие, тщательно исследовать специфику чисел и применить для вычисления такую комбинацию, которая быстрее всего приводит к результату.

а) 324 + 563 = (300 + 500) + (20 + 60) + (4 + 3) = 800 + 80 + 7 = 887

585 + 314 = (500 + 300) + (80 + 10) + (5 + 3) = 800 + 90 + 8 = 898

б) 339 + 527 = (300 + 500) + (39 + 27) = 800 + 66 = 866

547 + 329 = (500 + 300) + (47 + 29) = 800 + 76 = 876

559 + 427 = (500 + 400) + (59 + 27) = 900 + 86 = 986

в) 375 + 494 = (370 + 490) + (5 + 4) = 869

297 + 562 = (290 + 560) + (7 + 2) = 859

576 + 383 = (570 + 380) + (6 + 3) = 959

6. Сложение нескольких последовательных чисел натурального ряда

а) 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 10 ∙ 9 = 90

В примере дана сумма нечётного числа слагаемых (9). Для нахождения суммы надо слагаемое, стоящее посередине (10), умножить на число слагаемых (9).

б) 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = (9 + 10)∙(8∶2) = 19∙4 = 76

При сложении чётного числа последовательных натуральных слагаемых надо сумму двух стоящих посередине слагаемых (9+10) умножить на половину числа слагаемых (8∶2=4)

13 + 14 + 15 + 16 + 18 + 19 = (15 + 16)∙(6∶2) = 31∙3 = 93

13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23 = (17 + 19)∙(6∶2) = 36∙3 = 108.

Вычитание

1. Способ округления

а) Округление вычитаемого:

323 – 189 = 323 – 200 + 11 = 134

В данном примере увеличиваем вычитаемое на 11, делая его круглым числом, затем результат нового вычитания увеличиваем на 11.

219 – 197 = 219 – 200 + 3 = 22

432 – 292 = 432 – 300 + 8 = 140

512 – 387 = 512 – 400 + 13 = 125

б) Округление уменьшаемого:

203 – 127 = 200 – 127 + 3 = 73 + 3 = 76

В данном примере отбросили от 203 три единицы, из 200 вычитаем 127 и к результату возвращаем 3

307 – 269 = 300 – 269 + 7 = 31 + 7 = 38

411 – 287 = 400 – 287 + 11 = 124

509 – 358 = 500 – 358 + 9 = 151

2. Способ поразрядного разложения уменьшаемого и вычитаемого с последующей группировкой компонентов.

В этих примерах единицы вычитаются из единиц, десятки из десятков, сотни из сотен и т. д. Сфера применения этого способа, конечно, ограничена. Иногда удобнее разложить каждый из компонентов либо на сотни с десятками и на единицы, либо на десятки с единицами и на сотни, смотря по тому, как это будет выгоднее сделать, чтобы ускорить вычисление.

а) 542 – 329 = (500 – 300) + (42 – 29) = 200 + 13 = 213

435 – 329 = (400 – 200) + (35 – 27) = 200 + 8 = 208

682 – 227 = (600 – 300) + (82 – 67) = 300 + 15 = 315

б) 187 – 93 = (180 – 90) + (7 – 3) = 90 + 4 = 94

528 – 296 = (520 – 290) + (8 – 6) = 230 + 2 = 232

429 – 372 = (420 – 370) + (9 – 2) = 50 + 7 = 57

в) 5342 – 3927 = (5300 – 3900) + (42 – 27) = 1400 + 15 = 1415

3751 – 1946 = (3700 – 1900) + (51 – 46) = 1800 + 5 = 1805

8371 – 6954 = (8300 – 6900) + (71 – 54) = 1400 + 17 = 1417

3. Способ увеличения или уменьшения вычитаемого и уменьшаемого на одно и то же число с целью получения либо в уменьшаемом, либо в вычитаемом круглого числа.

Пример: найти разность 313 и 198; прибавляем к обоим компонентам по 2 и получаем: 315 – 200 = 115;

528 – 209, вычтем из обоих компонентов по 9 и получим: 528 – 209 = 519 – 200 = 319.

215 – 89 = 226 – 100 = 126

473 – 195 = 478 – 200 = 278

521 – 304 = 517 – 300 = 217

631 – 369 = 662 – 400 = 262.

4. Способ использования при вычитании тождественности цифр разрядов в уменьшаемом и вычитаемом.

Когда все цифры соответственных старших разрядов уменьшаемого и вычитаемого одинаковы, то они не берутся в расчёт, и вычитание производится только чисел, составленных из несовпадающих цифр уменьшаемого и вычитаемого.

43 630 – 43 617 = 30 – 17 = 13

52 710 – 52 620 = 710 – 620 = 90

67 876 – 67 829 = 76 – 29 = 47

72 819 – 72 807 = 19 – 7 = 12

5. Применение свойств вычитания суммы из числа, числа из суммы нескольких чисел.

При изучении этих свойств по программе 5 класса, на уроках рассматриваются примеры, позволяющие рационально и быстро выполнять вычисления.

а) 563 – (225 + 63) = 563 – 63 – 225 = 275

471 – (171 + 27) = 471 – 171 – 27 = 273 и т. д.

б) 122 – 69 – 31 = 122 – (69 + 31) = 122 – 100 = 22

424 – 171 – 29 = 424 – (171 + 29) = 424 – 200 = 224 и т. д.

Умножение.

1. Умножение на 5.

Так как 5 составляет половину от 10, то при умножении чётного числа на 5 можно это число разделить на 2 и частное умножить на 10.

48 ∙ 5 = 48 ∶ 2 ∙ 10 = 24 ∙ 10 = 240

При умножении нечётного числа на 5 от этого числа отбрасывается единица, разность делится на 2 и к частному на конце вместо нуля приписывается цифра 5.

63 ∙ 5 = 62 ∶ 2 ∙ 10 + 5 = 31 ∙ 10 + 5 = 315 (62∶2=31; 315)

137 ∙ 5 = 136 ∶2 ∙ 10 + 5 = 68 ∙ 10 + 5 = 685 (136∶2=68; 685)

2379 ∙ 5 = 2378 ∶ 2 ∙ 10 + 5 = 1189 ∙ 10 + 5 = 11895

2. Умножение на 6.

При умножении на 6 можно выполнить последовательное умножение числа на 3 и на 2

48 ∙ 6 = 48 ∙ 3 ∙ 2 =144 ∙ 2 = 288

57 ∙ 6 = 57 ∙ 3 ∙ 2 = 171 ∙ 2 = 342.

3. Умножение на 8.

При умножении на 8 можно выполнить последовательное троекратное умножение числа на 2

48 ∙ 8 = 48 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2

56 ∙ 8 = 56 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 и т. д.

4. Умножение на 9.

9 заменяется разностью: 10 – 1.

48 ∙ 9 = 48 ∙(10 – 1) = 480 – 48 = 432

132 ∙ 9 = 132 ∙(10 – 1) = 1320 – 132 = 1188 и т. д.

5. Умножение на 11.

Первый способ: представление 11 в виде суммы 10 + 1.

48 ∙ 11 = 48 ∙(10 + 1) = 480 + 48 = 528

132 ∙ 11 = 132 ∙(10 + 1) = 1320 + 132 = 1452 и т. д.

Второй способ: основан на правилах письменного умножения двузначного числа на 11.

а) Если сумма цифр множимого меньше 10, то цифры множимого как бы раздвигаются и между ними вписывается сумма цифр множимого.

42 ∙ 11 = 462; ( 4__4+2 = 6__2 )

27 ∙ 11 = 297; ( 2__2+7 = 9__7)

18 ∙ 11 = 198

35∙ 11 = 385

54∙ 11 = 594

б) Если сумма цифр множимого больше 10, например у числа 48, то между двумя цифрами множимого вписывается из полученной суммы только цифра единиц 2, а цифра десятков множимого увеличивается на единицу.

48 ∙ 11 = 528 (4_8; 4 + 8 = 12; 4 + 1 = 5; 528)

59 ∙ 11 = 649 (5_9; 5 + 9 = 14; 5 + 1 = 6; 649)

75 ∙ 11 = 825

97 ∙ 11 = 1067.

в) При умножении трёхзначного числа на 11 в качестве единиц произведения берём единицы множимого, потом складываем цифру единиц с цифрой десятков множимого и эту сумму ставим на месте десятков произведения, потом складываем цифру десятков множимого с цифрой его сотен и берём эту сумму в качестве цифры сотен произведения, а цифра сотен множимого переносится в произведение в качестве цифры тысяч.

132 ∙ 11 = 1452 (2; 2 + 3 = 5; 3 + 1 = 4; 1; 1452)

Аналогичный приём применяется и при умножении всякого многозначного числа на 11:

1532 ∙ 11 = 16852 (2; 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 1 = 6; 1; 16852)

3897 ∙ 11 = 42867 (7; 7 + 9 = 16; 9 + 8 + 1 = 18; 8 + 3 + 1 = 12; 3 + 1 = 4; 42867)

5386 ∙ 11 = 59246

12492 ∙ 11 = 137412.

6. Умножение на 15.

Первый способ: 48 ∙ 15 = 48 ∙ (10 + 5) = 48 ∙ 10 + 48 ∙ 5 = 480 + 240 = 720

124 ∙ 15 = 124 ∙ (10 + 5) = 124 ∙ 10 + 124 ∙ 5 = 1240 + 620 = 1860 и т. д.

Второй способ: а) Так как 15 состоит из суммы трёх пятёрок, то при умножении чётного числа на 15 надо частное от деления множимого на 2 умножить на 3 и результат умножить на 10 (т. е. приписать к нему справа нуль).

48 ∙ 15 = 48 ∶ 2 ∙ 3 ∙ 10 = 24 ∙ 3 ∙ 10 = 720

124 ∙ 15 = 124 ∶ 2 ∙ 3 ∙ 10 = 62 ∙ 3 ∙ 10 = 1860

256 ∙ 15 = 256 ∶ 2 ∙ 3 ∙ 10 = 128 ∙ 3 ∙ 10 = 3840.

б) При умножении нечётного числа на 15 сначала вычитают из него единицу и полученную разность умножают на 15, как выше указано, а затем к произведению прибавляют 15.

53 ∙ 15 = 52 ∙ 15 + 15 = 780 + 15 = 795

67 ∙ 15 = 66 ∙ 15 + 15 = 990 + 15 = 1005

123 ∙ 15 = 122 ∙ 15 + 15 =1830 + 15 = 1845

Деление.

Навыки устного деления чётных чисел на 2 и деления на 10 чисел, оканчивающихся нулём, осваиваются детьми в начальной школе. К пятому классу дети должны свободно владеть этими навыками.

1. Деление на некоторые составные числа

Деление на 4, 6, 8, 9, 12, 14, 15 и т. д. удобно выполнять путём проведения последовательных делений:

864 ∶ 4 = (864 ∶ 2) ∶ 2 = 216

1116 ∶ 6 = (116 ∶ 2) ∶ 3 = 186

1116 ∶ 12 = (1116 ∶ 2) ∶ 2 ∶ 3 = 93

2. Деление на 5

Чтобы разделить на 5 любое число, достаточно его увеличить в 2 раза и произведение разделить на 10 (если данное число делится на 5, то после умножения его на 2 получится число, кратное 10, поэтому для деления на 10 достаточно в произведении отбросить на конце один нуль)

725 ∶ 5 = 1450 ∶ 10 = 145

17535 ∶ 5 = 35070 ∶ 10 = 3507

3. Деление на 25

Чтобы разделить любое число на 25, достаточно данное число увеличить в 4 раза и результат разделить на 100.

725 ∶ 25 = 2900 ∶ 100 = 29

4. Деление на 50

Чтобы разделить любое число на 50, можно его увеличить в 2 раза и результат разделить на 100.

1250 ∶ 50 = 2500 ∶ 100 = 25