Практические приложения метода математической индукции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

ТОБОЛЬСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМ. Д. И. МЕНДЕЛЕЕВА

(ФИЛИАЛ) ТЮМГУ

«УТВЕРЖДАЮ»:

Директор

________________//

«____» ____________201__ г.

ПРАКТИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ

Учебно-методический комплекс. Рабочая программа

для обучающихся направления подготовки 44.03.05 «Педагогическое образование

(с двумя профилями подготовки)»

профиля подготовки «Математика, информатика»

форма обучения – заочная

Тобольск 2016

, Практические приложения метода математической индукции. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для обучающихся по направлению 44.03.05. «Педагогическое образование». Тобольск, 2016, 7 с.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрОП ВО по направлению подготовки.

Рабочая программа дисциплины опубликована на сайте ТюмГУ: Практические приложения метода математической индукции [электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. umk3plus. utmn. ru, свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой физики, математики, информатики и методик преподавания. Утверждено директором Тобольского педагогического института им. (филиал) ТюмГУ в г. Тобольск

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: , канд. пед. наук, доцент, заведующий кафедрой физики, математики, информатики и методик преподавания.

© Тобольский педагогический институт им. (филиал) ТюмГУ в г. Тобольск, 2016

© ,

1. Цель дисциплины: формирование систематизированных знаний в области числовых систем и ее методов, овладение современным математическим аппаратом доказательства методом математической индукции для дальнейшего использования в приложениях, в школьном курсе математики.

2. Место дисциплины в структуре ОП: Дисциплина «Практические приложения метода математической индукции» относится к вариативной части – дисциплины по выбору профессионального цикла дисциплин направления. Она характеризуется содержательными связями с дисциплинами «Алгебра», «Математический анализ». Освоение дисциплины является основой для последующего изучения других дисцплин: алгебра, математический анализ, численные методы и др.

3. Требования к результатам освоения дисциплины

3.1. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины

– способность использовать естественнонаучные и математические знания для ориентирования в современном информационном пространстве (ОК-3);

– способность использовать возможности образовательной среды для достижения личностных, беспредметных и предметных результатов обучения и обеспечения качества учебно-воспитательного процесса средствами преподаваемых учебных предметов (ПК-4).

3.2. В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

знать:

- основы алгебраической теории;

- основной раздел числовых систем «Натуральные числа», классические факты, утверждения и методы указанной предметной области;

- определения и свойства математических объектов в этой области, формулировки утверждений, метод доказательства полной математической индукции, возможные сферы их приложений;

уметь:

- решать типовые задачи в указанной предметной области;

владеть:

- навыками решения типовых задач из раздела «Натуральные числа»;

- представлениями о связи указанной области со школьным курсом математики.

4. Структура и содержание дисциплины

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы (108 часов).

4.1. Структура дисциплины

Таблица 1

№	Наименование раздела дисциплины	Семестр	Виды учебной работы (в академических часах)
аудиторные занятия	СР
ЛК	ПЗ	ЛБ
I	Натуральный ряд. Задачи на суммирование. Доказательство неравенств.	4	2	-	-	26
II	Задачи на делимость	4	2	-	-	20
III	Свойства числовых последовательностей. Свойства конечных множеств	4	-	2	-	26
IV	Индукция в геометрии	4	-	2	-	24
	Контроль: зачет		4
	Итого		4	4		96

4.2. Содержание дисциплины

Таблица 2

№	Наименование раздела дисциплины	Содержание раздела (дидактические единицы)
I	Натуральный ряд. Задачи на суммирование Доказательство неравенств	1) Определение натурального ряда с помощью аксиом Пеано. Независимость аксиом Пеано. Непротиворечивость аксиоматической теории натуральных чисел. Принцип полной математической индукции. Доказательство методом полной математической индукции. 2) Понятие дедукции и индукции. Гипотеза Гольдбаха. Доказательство равенств на суммирование методом математической индукции. Доказательство тождеств методом математической индукции 3) Доказательство неравенства Коши для произвольного числа параметров и неравенства Бернулли методом математической индукции. Доказательство неравенств методом математической индукции.
II	Задачи на делимость.	Отношение делимости в кольце целых чисел. Применение метода математической индукции к задачам на делимость. Доказательство малой теоремы Ферма методом полной математической индукции.
III	Свойства числовых последовательностей и конечных множеств	1) Применение метода математической индукции для изучения свойств числовых последовательностей. Доказательство истинности некоторых формул и свойств геометрической и арифметической прогрессий. Доказательство свойств последовательности Фибоначчи с помощью метода полной математической индукции. 2) Применение метода математической индукции для изучения свойств конечных множеств. Понятие декартового произведения двух множеств, декартового произведения s множеств. Решение задачи о числе множеств конечного подмножества. Доказательство формулы декартового произведения с помощью метода полной математической индукции.
IV	Индукция в геометрии.	Применение метода математической индукции в геометрии: деление прямой на интервалы, деление отрезка точками, теорема Эйлера. Решение задач.

5. Образовательные технологии

Таблица 3

№ занятия	№ раздела	Тема занятия	Виды образовательных технологий	Кол-во часов
1	I	Натуральный ряд. Принцип полной математической индукции. Доказательство методом полной математической индукции.	Лекция	2
2	II	Применение метода математической индукции к задачам на делимость.	Лекция	2
3	III	Применение метода математической индукции для изучения свойств числовых последовательностей, свойств конечных множеств..	практическое занятие (Традиционные образовательные технологии	2
4	IV	Индукция в геометрии.	семинар-дискуссия. (Интерактивные технологии)	2

6. Самостоятельная работа студентов

Таблица 4

№	Наименование раздела дисциплины	Вид самостоятельной работы	Трудоемкость (в академических часах)
I	Натуральный ряд. Задачи на суммирование Доказательство неравенств	1. Изучение рекомендуемой научно-методической и учебной литературы (конспектирование). 2. Ответы на контрольные вопросы 3. Выполнение домашних заданий 4. Подготовка сообщений к выступлению на семинаре	26
II	Задачи на делимость.	1. Изучение рекомендуемой научно-методической и учебной литературы (конспектирование). 2. Ответы на контрольные вопросы 3. Выполнение домашних заданий 4.Решение задач и упражнений по образцу; 5. Подготовка сообщений к выступлению на семинаре	20
III	Свойства числовых последовательностей и конечных множеств	1. Изучение рекомендуемой научно-методической и учебной литературы (конспектирование). 2. Ответы на контрольные вопросы 3. Выполнение домашних заданий 4. Подготовка сообщений к выступлению на семинаре 5. Решение вариативных задач и упражнений	26
IV	Индукция в геометрии.	1. Изучение рекомендуемой научно-методической и учебной литературы (конспектирование). 2. Ответы на контрольные вопросы 3. Выполнение домашних заданий 4. Подготовка сообщений к выступлению на семинаре 5. Решение вариативных задач и упражнений	24

7. Компетентностно-ориентированные оценочные средства

7.1. Оценочные средства диагностирующего контроля

1) Устный опрос (собеседование)

2) Промежуточная аттестация в форме зачета.

7.2. Оценочные средства текущего контроля: модульно-рейтинговая технология оценивания работы обучающегося.

7.2.1. Распределение рейтинговых баллов по модулям и видам работ – не предусмотрено.

7.2.2. Оценивание аудиторной работы обучающихся – не предусмотрено.

7.2.3. Оценивание самостоятельной работы обучающихся – не предусмотрено

7.2.4. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости

а) контрольная работа

б) зачет

7.3 Оценочные средства промежуточной аттестации

7.3.1. Рубежные баллы рейтинговой системы оценки успеваемости обучающихся – не предусмотрено.

7.3.2. Оценочные средства для промежуточной аттестации

а) контрольная работа

б) зачет

Примерные задания для контрольной работы по дисциплине

I вариант

Дан натуральный ряд < N , ґ > , 1ґ = 2 , 2ґ = 3 , … Пользуясь только определениями и сложения и умножения натуральных чисел, вычислите:

а) 4 + 3 б) 2 × 3

Методом полной математической индукции докажите:

" n Î N (10 n + 17) M 9

Доказать равенство: " n Î N 1+3+5+…+ (2×n –1) = n2

II вариант

Дан натуральный ряд < N , ґ > , 1ґ = 2 , 2ґ = 3 , … Пользуясь только определениями и сложения и умножения натуральных чисел, вычислите:

а) 4 + 2 б) 2 × 4

Методом полной математической индукции докажите:

" n Î N (3 4 n + 3 – 17) M 10

Доказать равенство: " n Î N 1+3+5+…+ (2×n –1) = n2

Задания к зачету

Доказать с помощью математической индукции следующие равенства:

1) 12 + 22 + … + п2 =

2) 13 + 23 + … + п3 =

3)

4)

2. Доказать методом полной математической индукции:

1) (10 n + 17) M 3 " n Î N

2) (34 n+3 – 17) M 5 " n Î N

8. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

а) основная литература

1. Гомонов неравенства: способы получения и примеры применения.- М.: «Дрофа», 2006.

2. Меняйлов практикум: Учеб. пособ. для высш. шк.- М.: Академ. проект, 2003.
б) Дополнительная литература

1. Соболь по высшей математике : учебное пособие / . - 5-е изд. - Ростов-на-Дону : Феникс, 2008. - 630 с. - (Высшее образование)

2. Воробьев, по подготовке к ЕГЭ по математике /задачи С1/. Практические рекомендации для учащихся 10-11 классов (тесты) / В. В. Воробьев. - М. : Директ-Медиа, 2014. - 87 с. - ISBN 978-5-4458-8110-0 ; То же [Электронный ресурс]. - URL: http://biblioclub. ru/index. php? page=book&id=233361 

в) периодические издания:

1. Математика // Приложение к газете «Первое сентября»

2. Математика в школе

3. Квант

г) мультимедийные средства:

_________________________

д) Интернет-ресурсы:

_________________________

9. Материально-техническое обеспечение дисциплины

– учебные и методические пособия, учебники по математике для различных профилей, учебно-методические пособия, пособия для самостоятельной работы;

– компьютерный класс с мультимедийной аппаратурой

Дополнения и изменения к рабочей программе на 201__ / 201__ учебный год

В рабочую программу вносятся следующие изменения:

_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры ______________________________________ «__» _______________201 г.

Заведующий кафедрой ___________________/___________________/

О.