Справочные материалы для повторения курса планиметрии 7 -9 класса в 10 классе Правильные многоугольники. Вневписанная окружность
Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности.
Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.
Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис этого многоугольника.
В многоугольник можно вписать окружность, если его биссектрисы пересекаются в одной точке. В любой треугольник можно вписать окружность. В правильный многоугольник можно вписать окружность.
Вписанная окружность касается сторон правильного многоугольника в серединах его сторон.
В четырехугольник можно вписать окружность<=>, когда суммы его противоположных сторон равны.
Вписанный треугольник, опирающийся на диаметр - прямоугольный
Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника
принадлежат этой окружности.
Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.
Центр описанной окружности – точка пересечения серединных перпендикуляров многоугольника.
Около многоугольника можно описать окружность, если его серединные перпендикуляры пересекаются в одной точке. Около любого треугольника можно описать окружность.
Около правильного многоугольника можно описать окружность.
Около четырехугольника можно описать окружность, ó когда суммы его противоположных углов равны 180⁰. Около трапеции можно описать окружность ó когда она равнобедренная.
Теорема Птоломея. Произведение диагоналей четырехугольника, вписанного в окружность, равно сумме произведений противоположных сторон этого четырехугольника.
Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
Свойства:
1)около любого правильного многоугольника можно описать окружность и притом только одну
2) в любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну
3) центр окружности, вписанной в правильный многоугольник, совпадает с центром описанной около него окружности ( эта точка называется центром правильного многоугольника
4) Вписанная окружность касается многоугольника в серединах всех его сторон
an = 2R sin 
an = 2r tg 
r = R cos
S = Pr a3 = R√3 a4 = R√2 a6 = R
Окружность, касающаяся стороны треугольника и продолжения двух других сторон, называется вневписанной окружностью этого треугольника
Центр окружности, вневписанной в треугольник, есть точка пересечения биссектрис двух внешних и одного внутреннего угла треугольника
Любой треугольник имеет три вневписанные окружности
Пусть вневписанная окружность, касающаяся стороны ВС треугольника АВС в точке N, касается продолжения сторон АВ и Ас в точках К и М соответственно и р – полупериметр треугольника АВС, тогда АК =АМ =р
ПустьS - площадь треугольника АВС, р – его полупериметр, rа – радиус окружности, вневписанной к стороне Вс этого треугольника, ВС =а, тогда S = (р –а)rа
